COMPARAISON DE L'EFFET UTILE DES CHEMINEES
526. Il est intéressant de comparer, au point de vue du rendement, les cheminées et les ventilateurs.
Il semble, tout d'abord, que la chaleur agissant directement dans une cheminée, le rendement doit être plus grand que pour les appareils mécaniques où elle n'agit que par l'intermédiaire de la vapeur produite dans une chaudière, puis d'une machine et enfin de transmissions. Mais, quand on pense à la grande quantité de chaleur perdue par les gaz s'échappant au sommet des cheminées, on conçoit que, malgré tous ces intermédiaires, les appareils mécaniques puissent avoir un rendement supérieur, et c'est en effet ce qui a lieu dans la plupart des cas.
Le travail nécessaire pour faire circuler dans des conduites un volume d'air Q, en lui donnant une différence de pression E en hauteur d'eau, est égal à QE (155), lorsque l'excès de pression est faible, comme c'est le cas avec les ventilateurs et les cheminées.
Dans une cheminée, le travail effectif d'une calorie (*8^}f
abstraction faite du travail d'élévation des gaz au sommet de la cheminée, est
^^ Ha
Pour un ventilateur, désignons par a le poids de combustible brûlé en une heure, dans le foyer d'une chaudière, pour produire dans une machine à vapeur un travail effectif de un cheval sur Tarbre du volant; le nombre de calories correspondant est «N, N étant la puissance calorifique du combustible. Le travail C d'une calorie, en kilogrammètres, dans un ventilateur dont le rendement est p, sera en conséquence
et on a, pour le rapport cherché -tt>
et pour le rapport rr, C, étant le travail d'une calorie quand on
tient compte du travail d'élévation des gaz,
C'270ooo p c(/ — 8) (i -l-a6) C","" ûN H(i+a/)
Si on compare le travail d'une cheminée d'usine de 3o mètres de hauteur, renfermant des gaz à ajS", avec celui d'un ventilateur ayant un rendement de o,5o et dont la machine motrice consomme 2 kilog. de houille par force de cheval et par heure, on a
H = 3o", /^ajD*, « = 2, N=:8ooo, p = o,5o
La dépense de chaleur dans la cheminée est 38,6 fois plus grande . Pour une cheminée de 3o mètres servant à la ventilation des Sbh. 46
lieux habités, dans laquelle Tcxcès de température est seulement de 20'', ce qui est un minimum,
H=:3o", / = 20* /I=:2, N = 8oOO, p = 0,5o
La dépense de chaleur est encore 17,84 fois plus grande avec la cheminée.
Ce n'est que dans les mines, où les puits constituent des cheminées d'une très grande hauteur, que les dépenses se rapprochent pour les deux sortes d'appareil. Avec H =4oo mètres et î=4o^> on a
ha, dépense de chaleur dans la cheminée n'est plus que de 5o p. 100 supérieure à celle du ventilateur.
Ainsi, au point de vue de l'utilisation de la chaleur, les ventilateurs ont un avantage incontestable sur les cheminées, et cependant les cheminées sont, on peut dire, à peu près exclusivement employées dans les appareils de chauffage pour appeler l'air dans les foyers.
Il y a pour cela plusieurs raisons. D'abord la dépense de chaleur dans une cheminée n'est pas une dépense réelle, mais seulement l'utilisation d'une chaleur qui serait perdue, parce qu'il est impossible pratiquement de refroidir complètement les gaz de la combustion au contact du récepteur.
En outre, il est nécessaire d'avoir une cheminée, pour rejeter à une grande hauteur les produits de la combustion, qui seraient incommodes et quelquefois nuisibles, s'ils se dégageaient près du sol.
Enfin un autre avantage de la cheminée, c'est qu'elle ne coule rien comme surveillance, service ou entretien et il n'en est pas ainsi d'un ventilateur et de la machine qui le fait mouvoir.
C'est pour ces motifs que les cheminées sont généralement employées pour le tirage des foyers. Mais quand il s'agit de
mettre de Tair en mouvement, pour d'autres opérations, la ventilation des lieux habités notamment, une partie de ces raisons n'existe plus, et le ventilateur est alors le plus souvent préféré. La cheminée est d'ailleurs insuffisante aussitôt qu'on a besoin d'une pression un peu forte.
§ Il VENTILATEURS A HÉLICE
527. Préliminaires. — Un ventilateur à hélice est un appareil qui se compose, comme un ventilateur à force centrifuge, d'un certain nombre d'ailes montées sur un arbre auquel on donne un mouvement de rotation. Il en diffère en ce que les ailes, au lieu d'être des surfaces cylindriques avec génératrices parallèles à Taxe, sont des surfaces hélicoïdales, inclinées sur l'axe, de telle sorte qu'elles impriment à Tair, non seulement un mouvement de rotation, mais encore un mouvement de translation dans le sens de l'axe. L'appareil étant placé dans un tuyau rectiligne aspire l'air d'un côté et le refoule de l'autre.
Comme pour un ventilateur à force centrifuge, l'appareil à hélice peut être précédé d'une conduite d'aspiration et suivi d'une conduite de refoulement ou de l'une des deux seulement.
Les phénomènes qui se produisent dans ces conduites sont absolument les mêmes que pour un ventilateur à force centrifuge ; les formules que nous avons établies au n*" «os sont applicables sans changement et il en est de même des considérations qui les accompagnent.
On a également, pour la différence de pression E produite entre l'entrée et la sortie du ventilateur, la relation
R étant un coefficient de résistance qui ne dépend que de la forme
cl des dimensions des conduites d'aspiration et de refoulement. La différence de pression II, que doit produire le ventilateur à hélice, est, comme pour le ventilateur à force centrifuge,
A est la différence des pressions entre la sortie de la conduite do refoulement et Tentrée de celle d'aspiration, E--(n-R)^ est l'excès de pression nécessaire pour produire la vitesse et vaincre les résistances, F la perte de charge dans le ventilateur même par les frottements et remous.
Lorsque les pressions extrêmes sont les mêmes, A~o, et comme F est proportionnel au carré de la vitesse, on peut poser
E^nmH,
m étant le rendement manométrique. Nous renvoyons pour les développements h ce que nous avons dit (497) pour le ventilateur à force centrifuge.
THÉORIE GÉNÉRALE
628. Etudions le mouvement depuis une section A en avant de Tappareil, jusqu'à une section B placée au delà, ces
Kig. 33o.
deux sections étant assez éloignées du ventilateur pour qu'on puisse admettre que les filets fluides s'y meuvent parallèlement
cl uniformément; la vitesse est v' dans la première section, et v' dans la seconde.
Considérons un filet fluide arrivant en m à une distance om -~x de Taxe (fig. 33o) dans la section d'entrée pq du ventilateur avec une vitesse VQ==mdy faisant un angle g avec la tangente à la circonférence de rayon x; la vitesse relative 10^, = mi entre les ailettes est, comme on sait, la résultante de la vitesse absolue (^^ et de la vitesse de rotation wx prise en sens inverse.
Sous l'action des ailettes, la molécule s'éloigne à la fois de la section d'entrée et de Taxe et elle sort, dans la section PQ, à une distancej) — MO de Taxe, avec une vitesse relative w^ —MB ; la vitesse absolue Vi=MD est la résultante de ir, et de la vitesse de rotation (i);^=::MC Cette vitesse Vi est plus ou moins inclinée sur le plan de sortie.
Nous désignerons par p' et p' les pressions dans les sections A et B, et par /^j, et pi celles en m et M, à l'entrée et à la sortie du ventilateur, aux distances x et r de l'axe.
En désignant par/^ la perte de charge par les frottements et remous de A en pg et appliquant au mouvement le théorème (491) :
vl-i^'=^g' — '-^ — ^. (1)
SoitQ le volume écoulé par i", la composante, suivant l'axe, de la vitesse v^ étant v = iff^ sin 3 et la section élémentaire pour cette vitesse étant 27:xclx,
0 = 27: / xi'osingf/j: (2)
r^ étant le rayon de la section d'entrée.
Soit 0 l'angle que fait le premier élément des ailettes à la distance x avec le plan de la section d'entrée ; pour qu'il n'y ait pas de choc, il faut que w^ soit dirigé suivant 0 et qu'on ait
i'n sin 0
ci)x~sin(6-i-fj)
t^„__ sin 3
(1)07 "~ sin (0 -h 3)
et aussi
wl = vl'i-(ù^jr^—^s^otùX cos p, (5)
équation qui peut se déduire dos deux précédentes.
Le filet fluide, en traversant l'appareil, passe delà vitesse relative Wq à la vitesse relative Wi ; les molécules vont en s'éloignant de Taxe et, entrées à la distance .r, elles sortent à la dislance j.
En appliquant le théorème de l'effet du travail dans le mouvement relatif, on trouve par un raisonnement analogue à celui que nous avons fait pour le ventilateur à force centrifuge (soo) et en désignant par / la perte de charge, en hauteur d'eau, de m en M, dans le ventilateur même,
w\---tvl = 2g^'''P*'''^ -hi^^y^jt^). (ti)
Cette équation s'applique à une série de filets juxtaposés entrant tous à la distance x, sortant à la distance r et formant une surface continue de révolution autour de l'axe.
La vitesse absolue de sortie ç', =:MD est la résultante de la vitesse relative m;, — MB et de la vitesse de rotation wr =MC. En désignant par y Tangle du dernier élément de Tailette avec la tangente, c'est-à-dire l'angle KMB que la vitesse relative fait avec la vitesse de rotation prise en sens contraire, on a
v\ = w\-\-iù^j^^—2W^byj cos 7. (7)
Soit a l'angle BMM' que la vitesse relative 10^ fait avec l'axe, la composante de cette vitesse parallèle à l'axe est Wi cos a et la section élémentaire correspondante étant ^ncrdy, le volume débité est donné par la relation
Qmai:/ w ^ cos OLjdj. (8)
En désignant par X l'angle DMM' que la vitesse absolue ^f^ fait avec l'axe, on peut encore mettre le volume écoulé sous la forme
Q = 2t:J v^ cos\j(tj%
d'où on conclut
i»! cosX=u?, cos a,
ce qui se voit immédiatement à Tinspection de la figure
MM' — M^i cos a=^| cos X.
Enfin la perte de charge par les frottements et remous de M en B étant yi la vitesse passant de t't à f ", et la pression de p^ à p\ on a
/'-vî=ag^'~^'~-^«. (y)
Afin d'éviter autant que possible les remous et les courants rentrants derrière les ailes, il convient que la veine fluide conserve sa vitesse dans l'appareil, c'est-à-dire que la vitesse relative reste constante, d'où
u;o=tD, (lo)
et les ailettes doivent être établies de manière à réaliser cette condition.
Les ailettes peuvent aflecter diiTérentes formes; et on les a faites tantôt planes, tantôt courbes. La surface naturellement indiquée est l'hélicoïde engendrée par une droite qui se meut en s'appuyant sur une hélice et restant perpendiculaire à son axe. Si r^ est le rayon de base de l'hélice, le pas a est a = 2TC r^ tg$^j, e^, étant l'angle que Thélice fait avec le plan de base. Un cylindre quelconque de même axe que l'hélice et de rayon X coupe l'hélicoïde suivant une autre hélice de même pas faisant avec la base un angle 6 tel que a=r9.TCxtg6, de sorte que
629. Pression produite. — En ajoutant membre à membre les équations (i) (5) (6) (7) {9) on trouve, en remarquant que
pf jj' p
9'* ^a - 2^ ^- — L ai'oOKrcosp-i-a (ù\y^ — 2m;^ w r cos 7
et en posant
d — = fi d — =:/i' Wq^=^w.
il vient, en utilisant les relations (3) et (4j,
H-,^^^a/.a ^sinecosg ^ singcos^N
g V sin(ô4-g) '^sin(e4-3)/
Si l'on construit les ailettes de telle sorte que
cos Y J^ cos 6~~jr
on a
„^,,2/^2 o/sinecos3 + sin3cosQ\
ou
Pour que la pression produite soit la même pour tous les filets, il suffit que j^ —jc^ soit constant.
Si on pose -^^ H, on a y^—x^=:t^j d'où j = yjt:^ -+-/•*. Pour 07 = 0 y=zr
f-Q est le rayon du cercle d'entrée en pq et r^ celui du cercle de sortie en PQ. r est la distance de Taxe à laquelle doit sortir le filet entré au centre; le cercle correspondant doit être fermé à Tarrière par une partie pleine, pour empêcher les mouvements d'air en sens inverse, et ce cercle doit se raccorder par une surface conoïde avec l'axe à l'entrée, afin d'éviter les remous.
La vitesse wr correspond à - H, la moitié de la pression totale à produire.
Les sections droites d'entrée et de sortie sont égales
Si on fait H = 0, on a r = o et f\ = rQy ce qui doit être.
La différence de pression, entre Tentrée et la sortie de l'appareil, est d'après l'équation (6), en faisant îCq=ivi,
Pour que cette différence soit la même, à une distance quelconque de Taxe, il suffit encore quej>'^ — x^ soit constant. On a ainsi
La différence de pression entre l'entrée et la sortie est la moitié de la pression totale diminuée de la perte de charge par les résistances dans l'appareil.
530. Vitesse d'entrée. — Si on admet que les filets fluides arrivent à la section d'entrée parallèlement à l'axe soit au moyen de directrices, soit parce que l'inclinaison produite par le mouvement giratoire est négligeable, on a p^nigo'*, ce qui donne (éq. 3)
sin Q ^ ^ . ^
La vitesse d'entrée est uniforme dans toute la section. Pour 60^45**
La vitesse d'entrée est égale à la vitesse de rotation de l'extrémité des ailes.
Vitesse relative. — La vitesse relative, pour ^ = 90 (éq. 4),
sin 3 G)jr
sin(6-f-^) cosô qu'on peut mettre sous la forme
iVo = ta\/x^-^rlig^%.
La vitesse relative dans la même section va en croissant du centre à la circonférence.
Pour j: = o, . tt^o=WotgOo
pour ^=r^y î^o=w/oVï-+-*g^V
L'angle 0 des ailettes à Tentrée est donné par la relation
il diminue à mesure que la distance à Taxe augmente.
Vitesse de sortie. — Si dans l'expression générale de Vi (éq. 7). on fait p = 90°, il vient
j •/ j I 2 COSyX
\ cos^ 0 ^ ^ cos 0/
et en construisant, comme nous Tavons dit ci-dessus, les ailettes
de telle sorte que r= — , on trouve
^ cosô j
ou bien comme j^ — x^ = r'^ et que j:tg6 = /o^S^o»
La vitesse de sortie est uniforme dans toute la section.
Si 60 = 45°, ^î==Wy/,.a + ,^ =0)1-4.
La vitesse de sortie est, dans ce cas, égale à celle de rextrémilé des ailes dans la section de sortie.
L'angle y des ailettes à la sortie s'obtient par la relation
cos Y X ., ^ X ^ oc . i oc . x^ ^==-, dou cosy = -cosô=-V/ — r-î7:=— Vts — irrzsT'
coso j * j y y i-htg^e j y x^-hrii^%
Pour x=o, J=f% COSy^o, Y =90*
pour x=r, r=r, coB y='^\/ j^^^.
Pour Tangle a que la vitesse relative iVi fait avec la direction de l'axe,
t^^iCOSa = i' M;oSin6=i',
et comme i/;i =m^o' ^^ ^ ^^^ a=:sîn6, d'où a = 90*— 6. Enfin pour Tangle X de la vitesse absolue t*, avec Taxe
s^i cos X = f», d'où cos X = — ,
et comme f', = w V''"* + 'otff^% et v = wr^ tg 0^^,
__ /'o tg Qq
cosX =
V/'-'+'otg^'Oo C'est un angle constant quelle que soit la distance à l'axe.
Poureo=4î>% cosX=^.
Le plan des vitesses MBCD fait avec le plan tangent au cylindre de rayon OM un certain angle S qu'on obtient en menant le plan MOO'M' A par l'axe oOO' et la parallèle MM' à 00'. Ce plan coupe le plan MBCD suivant la droite MA et on a 8 = AMM'.
La ligne MA, trace du plan MM'OO' sur le plan MBCD, est perpendiculaire à KMC et par suite à sa parallèle BD et l'angle
