TRANSMISSION A TRAVERS UNE PAROI ENTRE DEUX ENCEINTES
La forme de la paroi ayant une influence sur les conditions de la transmission, nous allons examiner successivement la transmission à travers les parois à faces parallèles, les parois cylindriques, sphériques, et enfin les parois munies de nervures.
89. Transmission à travers une paroi à faces parallèles. — Considérons une paroi terminée par deux faces parallèles AB et A'B' (fig. 28), séparant deux enceintes maintenues respectivement aux températures T et 0 ; désignons par e et C répaisseur et le coefficient de conduction de la paroi. Lorsque le régime est établi, c'està-dire lorsque la chaleur, reçue par la face AB, est égale à celle émise par la face A'B', chaque tranche parallèle aux faces extrêmes laisse passer cette même quantité de chaleur et la température reste invariable et uniforme dans chaque tranche, mais différente d'une tranche à l'autre.
Appelons M la quantité de chaleur transmise dans le temps z, t et t' les températures inconnues des deux faces AB et A'B'.
La face AB recevant la quantité M de chaleur, si on désigne par K le coefficient de transmission de l'enceinte à cette face {s2, loi du réchauffement), on a
Le coefficient K est donné par la formule (so) : K=:mr-h/i/.
La même quantité de chaleur M traversant la paroi de la face
AB à la face A^B', la loi de transmission par conduction donne :
Enfin pour la transmission de la face A'B' à l'enceinte extérieure, en désignant par K' le coefficient de transmission (so, loi du refroidissement), on a
Le coefficient K' étant donné par une formule semblable à celle de K, soit K' = mV + /iy'.
Pour éliminer simplement les inconnues / et t* y il suffit de mettre les équations sous la forme
et en ajoutant
^•(ïï-^^-^t)^^^^-^)^-
On obtient la formule
M = SQ(T-6):: (i)
on posant pour simplifier
Q est un coefficient qui dépend de l'épaisseur et de la conduction de la paroi et en même temps de K et de K', c'est-à-dire des coefficients de radiation et de convection des deux faces. On le calcule dans chaque cas d'après la relation (2) où on porte les valeurs de C, de K et de K' données aux n"*' 91, 92, 9s, 99, 84, 8« et 87.
La formule (i) est la formule fondamentale de la transmission de la chaleur à travers une paroi et nous aurons fréquemment Toccasion de l'appliquer dans la suite.
Il est facile de calculer les valeurs de l et de /'en fonction des températures extrêmes ; on trouve
et
Enfin, si on a besoin seulement de la différence (— / :
Si les deux coefficients K et K' sont é^aux, la température moyenne de la paroi est la moyenne des températures extrêmes. En effet, en ajoutant les équations (3 et 4) membre à membre, faisant K = K' et divisant par 2
Si la paroi est formée par la juxtaposi- „. tion de deux parois (fig. 29), l'une d'épais-
seur e et de conduction C, l'autre d'épaisr e' et de conduction C, on a la série de relations
M=SK(T-0=
M = SK'(^'-6)c
et en éliminant les températures /, /', t" , on trouve
M = SO{T-e):
en posant
TRANSMISSION DE LA CHALEUR A TRAVERS UNE PAROI. i67
Pour un nombre quelconque de parois
90. Paroi cylindrique. — Lorsque la transmission s'effectue à travers un tuyau cylindrique, la différence d'étendue des surfaces extérieure et intérieure modifie la formule de transmission.
Soient R et R' (fig. 3o) les rayons intérieur et extérieur, T et 6 les températures des deux enceintes, / et /' celles des deux faces, / la longueur du tuyau ; cherchons la quantité M de chaleur qui passe par heure. *^'
La surface intérieure S = 27:R/ du tuyau reçoit, dans le temps z^ une quantité de chaleur
Pour trouver Texpression de la quantité de chaleur qui passe à travers la paroi, considérons une tranche annulaire, infiniment mince, située à une distance x du centre, soit y sa température.
L'épaisseur de la tranche est rfx, et la différence de température des deux faces, de l'intérieur à Textérieur, étant — djy on a pour une longueur / du tuyau
, C , 1, , ^dx ,
M = — ^7:lX'T-zcfy a ou =— •2x/G^ar
dx '^ X *^
et en intégrant pour x entre R et R', pour j^ entre / et t'
et
M log nép -7 = 27c/C(^ — t')z R
a-rc/C . ..
log nép ^
Enfin la transmission de la face extérieure du tuyau à Tenceinte donne
En éliminant les températures / et t* entre les trois équations, on trouve
-h - log nép —-
KR C ^ '^ R K R
qui se réduit à
M = SQ(T-0)3 en posant
S=..R'/ et l = R'(J^-^ilognép|-.j4,). ^
S'il y avait plusieurs tuyaux concentriques de conductibilité C, C'...C/,, et de rayons extérieurs R, R'... R^, la valeur de Q serait :
' T. f ' ' 1 ' R' ' 1 X lin * "I / X
91. Paroi sphérlque. — Le calcul de la transmission se fait, d'une manière analogue, pour une paroi sphérique.
En désignant par T et 0 les températures des deux enceintes, par R et R' les rayons intérieur et extérieur de deux sphères concentrique^, / et/' leurs températures, on a, pour la transmission à la paroi intérieure
Pour la transmission par conductibilité, en désignant par j la température d'un point quelconque d'une sphère infiniment mince de rayon x et d'épaisseur dx
d } dx
M = — Ci'j:x^Z'T' d'où yi.—^^—Ci'xzdr
dx x^
et en intégrant
Pour la transmission par la surface extérieure
En éliminant / et /', on trouve la formule
M = SQ(T-6)^, S est la surface extérieure et Q est donné par la relation
92. Paroi métallique. — Dans la plupart des appareils de chauiTage, les poêles à air chaud, à vapeur, à eau chaude, les calorifères, les chaudières à vapeur, etc., la paroi de transmission est en métal de faible épaisseur, sous la forme de tuyaux ou de cylindres circulaires. Pour calculer la transmission, il faudrait à la rigueur se servir de la formule (7) du n* 90, applicable aux corps cylindriques, mais^ à raison de la faible épaisseur du métal, les surfaces intérieure et extérieure sont très sensiblement de même étendue; on peut pratiquement les considérer comme égales et se servir avec une approximation bien suffisante des formules (1) et (2) du n"" se, applicables aux parois planes et parallèles.
La faible épaisseur de la paroi et sa grande conductibilité ont
en outre pour conséquence de rendre, le plus souvent, l'épaisseur
et la nature du métal sans influence sur la quantité de chaleur
I 1 ^ I transmise; dans la formule j^=jj^-hp-l-|T7, qui donne le coeffi-
cient Q de transmission, le terme t^ est négligeable à côté des
deux autres.
170 TRANSMISSION DE Lk CHALEUR.
Considérons en effet deux parois, Tune en cuivre de o",ooi d'épaisseur, Tautre en fonte de o",oi d'épaisseur.
Pour la première la valeur de |^=-~— ^=0,00000275;
Pour la seconde 7; = T3-0- = 0,000171. .
Le rapport de ces deux valeurs est environ 62, et cependant la quantité de chaleur transmise est la même dans la plupart des cas pratiques.
Quand l'un des fluides, en contact avec une des faces de la paroi, est de l'air ou un mélange de gaz permanents comme les gaz de la combustion (c'est le cas des poêles, des calorifères à air chaud, des chaudières à vapeur, etc.), la valeur du coefiGcient K de
transmission s'élève rarement à 4o (s*), de sorte que -7- =0,025
peut être regardé comme un minimum de ^. Si on compare à
cette valeur celles de 77» soit 0,00000275 pour le cuivre, et 0,000171 pour là fonte, on voit que ces dernières sont chacune bien au-dessous du millième de^, et par conséquent pratiquement négligeables ; dans ces conditions, on peut employer, pour une paroi métallique en contact sur une de ses faces avec des gaz permanents, la formule réduite
