EI 8 X 1 500 000 000 X

» = 0,15... 1 = 0,000585, d'où

Et comme lk est représenté par 0,00015, il s'en suit que lm d'ordonnée le sera par 0m,00015 X 9629 = lm,444, et 0m,01 d'ordonnée sera représenté par 0m,0144.

Telle est l'échelle d'ordonnées pour la poutre en bois.

182. Tracé de l'élastique. — (a) Décomposition de la courbe des moments en aires partielles. — Nous avons dit (n° 178-é) que la courbe élastique n'est autre chose que le funiculaire des charges fictives proportionnelles aux aires élémentaires de la courbe des moments et appliquées au centre de gravité de ces aires ; nous sommes donc conduits à décomposer le polygone A' G1D1E1F1 B' en éléments de surface faciles à mesurer et dont le centre de gravité soit facile à obtenir.

Sur la grande épure précédente (flg. 144) nous avons divisé l'aire en triangles : Il semble que l'on ait ainsi plus de précision, et surtout plus de facilité pour déterminer les centres de gravité des aires partielles. Mais le bénéfice de cette précision n'est pas suffisant pour compenser la complication de calculs qui en sera la conséquence. Il est préférable de diviser en trapèzes d'égale largeur, comme l'indique la fig. 146. Divisons la base en un nombre n de divisions qui soit un multiple de 4 ; par exemple en 12, 16, 20. .. parties égales. Sur les fig. 146 et 147 nous avons divisé en 12.

Par les divisions paires 2, 4, 6... menons, ou plutôt imaginons que l'on ait mené des verticales ; elles subdivisent l'aire totale en 6 trapèzes, dont 2 triangles, ayant chacun pour base 2/n de /.

Quelle sera la grandeur de la force fictive qui remplacera l'aire de chacun d'eux ? D'abord cette aire a pour expres-

Fig. 146

sion le produit de la base 2/n de / par la hauteur moyenne

telle que 1^—2^2', ,11,11'. On voit que ces hauteurs

moyennes ne sont autre chose que les ordonnées ylty3,yS)

de rang impair ; c'est pourquoi il suffirait de les tracer, sans s'occuper des ordonnées de rang pair. Si l'on emploie

APPLICATIONS AUX POUTRES .NON KXCASTItKKS

STAB. 14

la méthode Collignon, la base de réduction d' est égale à 1/2 /. Par conséquent, les forces fictives, ou hauteurs

d'équivalence, hlt h3, hs , destinées à remplacer chaque

aire, auront pour expression :

= 2 — : 2 = V» : 4' etc-

En résumé, ces forces fictives /*,, h3 s'obtiendront,

graphiquement, en divisant les ordonnées de rang impair par 1/4 ».

C'est afin d'avoir pour 1/4 n un nombre entier que nous avons recommandé de prendre pour n un multiple de 4.

Pour n = 12, on aura h3 — - y3.

Pour

16, on aura h3 = - y3, etc.

Sur notre épure, n == 12, par conséquent les forces

fictives hl, h3 (fig. 147-III) ont été prises égales aux

tiers des ordonnées yt, y3

Quel sera leur point d'application? Théoriquement il faudrait chercher les centres de gravité des trapèzes et des triangles d'extrémités et y appliquer ces forces. Dans le cas où l'on voudra une très grande précision, nous engageons à opérer ainsi ; mais, pratiquement, on peut, sans erreur bien sensible, admettre que les forces fictives peuvent être dirigées suivant les ordonnées de rang impair; c'est ce que nous avons fait sur l'épure (fig. 147).

Nota. — Sur l'épure précédente (fig. 144), nous avions décomposé en triangles ayant des bases inégales; nous avions ainsi 8 triangles et 8 forces fictives /<,, h2 hs, appliquées en leurs centres de gravité, c'est-à-dire aux tiers des largeurs de base. Pour trouver chaque force, fictive, il a fallu faire l'opération arithmétique suivante (suivre sur le triangle C'C.D') [fig. 144] :

1° Mesurer la base CD';

2° Mesurer la hauteur C'C, ;

3° Faire le produit de la base par la moitié de la hauteur; 4° Diviser ce produit par 1/2 l.

Le quotient final, mesuré à V échelle des forces, a été porté

en hit h2 (fig. 144-III). On voit que tout cela est plus

compliqué que lorsque l'on opère en décomposant en trapèzes de largeurs égales, comme sur la figure 147.

Jusqu'à nouvel ordre, ne nous occupons plus que de cette figure 147.

(h) Funiculaire de l'élastique. — Construisant alors sur ces forces, ainsi que nous l'avons fait plus haut, un funiculaire par la méthode de M. Collignon, nous obtenons en A"GIJPQRB" (fig. IV) le polygone élastique dont les côtés sont tangents à la courbe élastique qui serait résultée de la

division du polygone des charges en une infinité de surfaces élémentaires infiniment minces.

En (IV) nous avons représenté, en trait fort, le polygone élastique et, en trait fin, la courbe élastique qui lui est tangente.

En mesurant à l'échelle des flèches les ordonnées de la courbe par rapport à la droite A"B" on trouve, au point considéré de la poutre, la valeur de la flèche résultant des charges qu'elle devra supporter.

Nous trouvons ainsi que, pour la poutre en fer, la flèche prise aura sa plus grande valeur aux environs du milieu de la portée où elle atteindra 0m, 018. La poutre en bois prendra, au même point de la portée, une flèche de 0m,023.

(c) Points de tangence de l'élastique. — Les tangences se font aux points w, t„, u (fig. IV) qui sont à plomb des divisions paires. Cela tient à ce que, en arrivant à ces points, on a, en quelque sorte, épuisé toute une zone verticale de l'aire des moments.

Au contraire, dans la figure 144 où l'on avait divisé en triangles, les tangences de l'élastique ne se faisaient qu'aux points c" d"..., c'est-à-dire toutes les fois que l'on avait épuisé aussi une zone verticale tout entière. On voit, sur cette figure 144, combien aux environs de PQ (fig. IV) l'élastique s'écarte du polygone funiculaire. C'est une raison de plus pour adopter la division en trapèzes.