POUTRES, A SECTION CONSTANTE, ENCASTREES ET CHARGEES

Fig. 152

ments de telle sorte que le moment fléchissant maximum soit le plus petit possible; nous y arriverons en coupant, pour ainsi dire, en deux l'ancien moment maximum et en faisant en sorte que, au-dessus de chacun des appuis, il y ait un moment d'encastrement égal à la moitié de cet ancien maximum.

A cet effet, prenons comme représentative des moments M0 et M, dus aux encastrements, la droite A',B', (11g. 153-11) parallèle à la droite des appuis et distante de celle-ci de la longueur A'A;, égale à la moitié de l'ancienne ordonnée maximum du funiculaire des charges. Descendant alors ce funiculaire de manière que ses extrémités coïncident avec les points A', et Bi , nous obtenons en A^DjEjFjE', la représentative des moments fléchissants défininitjfs ; ces moments sont mesurés, à l'échelle des moments, par les ordonnées du polygone A',C1 . ..Bî prises par rapport à la droite A'B'; de sorte que les moments maxima qui sont développés aux trois points A', M et B' ont pour valeur commune 1163 Km, précisément la moitié de celle que nous avions trouvée sur l'ancienne flg. 144.

(6) Elastique. — Nous avons tracé en A"GIJPQRB" le polygone élastique dû aux charges seules; nous l'avons obtenu par la méthode Collignon. La ligne courbe tangente à ce polygone représente la courbe élastique primitive; nous l'avons tracée en trait fin.

La courbe élastique due aux moments d'encastrement seuls, M0 et Mlt est la parabole A"S"B" puisque ces moments sont égaux (v. n° 187); son ordonnée milieu 0"S" est égale à la moitié de la représentative des moments d'encastrement A'A^.

A l'aide de ces deux courbes on déterminera facilement, point par point, l'élastique déûnitive A'S'^B", puisque l'ordonnée de chaque point est la somme algébrique des ordonnées correspondantes de l'élastique due aux charges et de celle due aux encastrements.

La courbe élastique nous fait connaître les flèches prises par la poutre; on voit en (III) que la flèche prise a sa plus grande valeur vers le milieu de la portée où elle atteint gmm rjansia poutre libre la flèche avait atteint 23mm.

Les points d'inflexion sont en w et w; ils répondent aux moments fléchissants nuls w' et w'.

(c) Pentes d'encastrement. — Les pentes-épure d'encastrement sont les pentes yô et y, des lignes A"K" et B"H" (c'est par coïncidence fortuite que les points K" et H" semblent être à la fois sur l'élastique et sur les trisectrices). Le point K" est obtenu en ajoutant, algébriquement, l'ordonnée tK' de la tangente à l'élastique des charges, avec l'ordonnée tK de l'élastiqued'encastrement. Arithméliquement, c'est-à-dire en valeur absolue, on a : tK" = tK' — W. Il en est de même pour la pente d'extrémité et l'on a, arithmétiquement : t'R" = t'R' — ?R.

Pour évaluer numériquement les pentes-espace y0 et y, la méthode la plus simple, pour ne pas se tromper dans les échelles, est, pour y0 par exemple, de prendre le rapport tK" : tA", en ayant soin d'évaluer tK" à l'échelle des flèches et tA" à l'échelle des longueurs.

Dans ces conditions, on a, en mesurant sur l'épure :

TK" = Om,0077, Ôr = 0m,0075, 7Â" - t'B"= 3«',00 ; d'où l'on conclut :

On constate que ce sont des pentes très faibles.

191. Dangers des encastrements. — On voit que des encastrements bien compris amélioreraient considérablement la poutre, tant au point de vue des flèches qu'à celui de la résistance. Mais, pour qu'il en fût ainsi, il faudrait pouvoir réaliser et conserver, avec la plus grande précision, les pentes y0 et y1. Or, cela est presque impossible; quel que soit le soin avec lequel la boîte d'encastrement ait été faite, qu'elle soit en maçonnerie ou qu'elle soit en métal, elle ne conservera pas sa pente et la poutre tendra toujours à se remettre dans la position de repos sur appuis libres; dès lors, si elle a été calculée exactement pour l'encastrement, elle sera placée dans une situation très dangereuse. En pratique, on ne peut compter que sur un encastrement obtenu par continuité (v. n* 167), c'est-à-dire lorsque la poutre, posée sur ses deux appuis, présente en outre des encorbellements, convenablement chargés, en dehors de chacun de ces appuis.