POUTRES, A SECTION CONSTANTE, ENCASTRÉES ET CHARGÉES

égaux ((ig. loi) ; c'est un cas particulier du précédent dans lequel .M„ = M, = M.

Les formules deviennent :

ÎEI 1 M/2 8 ' "lï

effort tranchant.

Pentes sur les appuis.

Flèche-milieu.

Le problème inverse, dans lequel les données seraient la pente initiale a0 et son égale en valeur absolue, la pente (maie a, conduirait aux formules suivantes en faisanl :

2EIj

La figure 151 indique, sans qu'il soit besoin de l'expliquer, la solution graphique du problème et de son inverse.

| 8. — Poutres, a section constante, encastrées et chargées

188. Position de la question. — Lorsqu'une poutre chargée d'une manière quelconque, comme était celle du n° 179, est libre sur ses deux appuis, son élastique prend, au-dessus de chacun d'eux, des pentes <x0 et *lt que nous avons appris à construire et les moments fléchissants y sont nuls.

Si, par des encastrements, on force les pentes sur les appuis à être différentes des valeurs a0 et a, ci-dessus, il en résulte une modification de l'élastique, en même temps qu'il se développe, comme conséquence, des moments d'encastrement M0 et M,. Ces moments donnent, pour leur compte, une représentative rectiligne de moments qui s'ajoute analytiquement à la représentative primitive et qui la modifie, en bien ou en mal. Il faut trouver ces moments. La question peut se poser de deux manières différentes.

1er Problème. — On impose des encastrements déterminés ; comment modifieront-ils l'élastique et les moments fléchissants ?

Désignons par y0 et Ti l°s pentes d'encastrement que la poutre sera forcée de subir ; si a0 et a, sont les pentes d'appui que, libre, elle aurait prises, il est évident que si nous posons :

oft = Y0 — «. et 5j - Yi — *i les différences 30 et 2, seront ce que nous nommerons les

pentes de correction, parce que ce sont elles qu'il faut faire subir à la poutre pour la faire entrer, à ses deux extrémités, dans les boîtes d'encastrement.

Or nous avons appris (v. n° 186-c) à déterminer les moments M0 et M,, susceptibles de déterminer de pareilles pentes sur les appuis, ainsi que l'élastique qui on serait la conséquence.

Le problème est donc résolu et l'élastique sera la somme analytique de l'élastique de la poutre quand elle était libre, et de l'élastique spéciale aux deux moments M0 et M, et il en sera de même des représentatives des moments.

2e Problème. — On veut que les moments sur les appui-, qui tout d'abord étaient nuls, aient des valeurs données M„ et M, ; quels devront être les angles d'encastrement y0 et Tl ?

Nous avons appris à déterminer (v. n° 186) les pentes que produiraient, sur les appuis, les moments M0etM,. Soient o0 et 8t ces pentes.

Si y.0 et a, sont les pentes de la poutre libre, l'on aura pour les pentes d'encastrement y0 et

Yo = So + ao et Yi = si + 7i-

Pour fixer les idées, nous allons résoudre ces deux problèmes sur la poutre déjà étudiée au n° 179.

181). l,e Application. — Poutre du n° 179 assujettie à des pentes d'encastrement déterminées (lig. 152). — (a) Données. — On suppose que les pentes-espace imposées à la poutre sur ses appuis devront être :

To = +0,00001 et 7, = + 0,00003.

Divisons ces pentes par le coefficient l:t : 8EI qui, pour la poutre considérée, est (v. n° 180-6).

8ËÏ "

et nous aurons les pentes-épure 0,00001

" 0,0001038 Dessinons à nouveau (fig. 1) en AGIJPQRB l'élastique déjà trouvée (v. plus haut fig. 147 ou v. la figure suivante 153 qui en redonne la construction), et traçons, en AK et en DL, les lignes inclinées à ces pentes 70" et 7/'.

{b) Moments d'encastrement. — On voit que les moments d'encastrement M0 et M, devront être tels qu'ils fassent remonter les tangentes à l'élastique, de Ag en AK à l'origine et de B?' en BL à l'extrémité. Nous connaissons donc les pentes de correction 80 et St.

Dès lors appliquons la construction du nn 186-c ; portons en K'g' en LV, sur les trisectrices, les longueurs gK et rh interceptées sur ces mêmes trisectrices par les côtés des angles KAa et LBr ; enjoignant g' A. et r'B nous obtiendrons sur l'épure la représentation des pentes d'origine et d'extrémité que devraient développer, dans la poutre, les moments d'encastrement cherchés M0 et M0 s'ils agissaient seuls. Enfin, en joignant g'r' et prolongeant celte droite jusqu'en a sur la verticale d'origine, on obtiendra en Aa' une longueur égale aux 2/3 de l'ordonnée représentative du moment d'encastrement M0; ce moment luimême est donc égal, à l'échelle de l'épure, aux 3/2 de Aa'.

En raisonnant de même, on verrait que le côté g'r prolongé jusqu'en b' sur la verticale d'extrémité donne en Bb' les 2/3 de la représentative du moment d'encastrement d'extrémité M,, d'où l'on conclut que ce moment est représenté par les 3/2 de Bb'. Nous voyons d'ailleurs que le moment développé en A sera négatif puisqu'il a pour effet de tendre à ouvrir la pièce à la partie supérieure en tirant les fibres supérieures. Au contraire, le moment développé en B est positif, car Bb' et Aa' sont désignes contraires. Les moments iléchissants développés dans la poutre par les encastrements en A et en B seront donc représentés (fig. II) par la droite a"o"dont l'ordonnée, négative, A'a" est égale aux 3/2 de Aa' et l'ordonnée positice B'b" est égale aux 3/2 de Bb'.

(c) Polygone des moments fléchissants. — En portant en ordonnées à partir de la droite a"//, sur la verticale de chaque point de la poutre, des longueurs égales à celles du

funiculaire des moments de charges que nous avons obtenu plus haut en II, fig. 14 ï, nous obtiendrons le polygone des moments fléchissants définitifs qui résultent tant des charges que des encastrements.

Sur la fig. 152 ce polygone est AVCDEF6"B' et l'on ne doit y considérer que les ordonnées par rapport à la droite A'B' des portions couvertes de hachures. On remarquera que le moment maximum qui, dans la fig. 144, correspondait à un point de la poutre voisin du milieu, n'est plus à la même place ici. Le moment maximum a lieu précisément au-dessus de l'appui A et sa valeur est 2,900 Km tandis que dans la fig. 144, la valeur du moment fléchissant maximum était 2,326 K"\

Les encastrements que nous avons supposés ont donc eu pour effet d'augmenter l'effort maximum développé dans la poutre ; à ce point de vue leur effet est mauvais.

Nous verrons bientôt qu'il n'en est pas toujours ainsi et qu'on peut, dans une certaine mesure, réduire la valeur du moment fléchissant maximum en choisissant convenablement les angles d'encastrement.

(d) Elastique définitive. — Nous avons reproduit (fig. 152-1) d'après la fig. 144 ou la fig. 153, le polygone élastique AGIJPQRB et la courbe qui lui est tangente. Cette courbe représente, à des échelles que nous avons tracées, l'élastique primitive due aux charges seules.

Pour obtenir l'élastique définitive, en tenant compte des encastrements, nous procéderons de la manière suivante :

Traçons par la méthode que nous avons indiquée ;voir n° 180) l'élastique qui résulterait des moments d'encastrement M0 et Mj agissant seuls : dans la fig. 152 cette courbe est AHB. Si, maintenant, nous traçons une autre ligne dont les ordonnées soient égales à la somme algébrique de celles des deux élastiques AMB et AHB, nous obtiendrons l'élastique définitive AH'B.

Sur la fig. 152 on voit que les encastrements ont diminué beaucoup les flèches prises par la poutre. La plus grande valeur de ces flèches est 0m,007 tandis que dans la fig. 144 elle était de 0"',023.

(e) Point d'inflexion. — Au point to' (fig. II) le moment

fléchissant est nul ; par conséquent, d'après le théorème du n° \8i-d, au point correspondant w (fig. I) l'élastique présente une inflexion.

190. 2e Application. — Poutre du n° 179 soumise à des moments d'encastrement donnés. — (a) Choix des moments. — Nous venons de voir que, au point de vue de la résistance, les pentes d'encastrement que nous avions adoptées étaient mal choisies puisqu'elles avaient pour effet de rendre le moment dangereux plus grand que dans le cas des appuis libres. Nous allons nous proposer maintenant, étant donné la même poutre, de déterminer les encastre-