POUTRES, A SECTION < '.< INSTANTE, ENCASTREES ET CHARGEES

li;,

FiS. 153

de la représentative de ces moments eïfiés; il ne restera plus, ensuite, qu'à multiplier les résultats obtenus (ordonnées, flèches, pentes) par le coefficient final d'échelle ; nous avons vu (v. n° 178-c) qu'il était le produit de trois facteurs qui sont : 1° la distance polaire du funiculaire des moments naturels ; 2° la base de réduction commune aux aires partielles suivant lesquelles ce premier funiculaire a été décomposé ; 3° la distance polaire du funiculaire construit sur les forces représentatives des ces aires partielles ; ce dernier funiculaire donne, précisément, l'élastique-épure.

La poutre sera presque toujours homogène, autrement dit, E sera constant et I sera seul variable. Nous pourrions donc ne diviser chaque moment naturel que par le moment d'inertie I de la section correspondante et réserver le diviseur E pour la fin et l'appliquer, lui aussi, en bloc.

11 y a, au point de vue graphique, un certain intérêt à ce que les représentatives eïfiées aient des dimensions comparables à celles des représentatives naturelles; ce sera une question d'échelle.

Or, I rapporté au mètre carré est, en général, assez petit ; par contre, le module d'élasticité E, rapporté aussi au mètre carré, est très grand ; il est, pour le fer, de 20.000 millions de kilos ; et pour l'acier de 22.000 millions de kilos ; il en résultera que, en général, le produit El sera un grand, et souvent un très grand nombre.

Ainsi pour deux fers en double T des forges de la Providence, l'un de 0m,08 et l'autre de 0m,50 de hauteur, on trouve en prenant E = 20 000 000 000 (soit 20 X 10,J) :

Fer de 0.08 Fer de 0,50

El = 1 fi 400 El = 22 410100

Pour les poutres-maîtresses des grands ponts El aura une beaucoup plus grande valeur encore.

Or, comme le facteur El entre en dénominateur des moments naturels, il en résultera que les moments eïfiés auront des valeurs numériques très faibles et que, si l'on veut les dessiner avec des dimensions comparables à celles des autres, il faudra adopter pour eux une grande échelle. Ainsi pour le fer ci-dessus de 0m,08, il faudrait représenter l'unité des moments eïfiés à une échelle qui serait, environ, 10. 000 fois plus grande que celle adoptée pour les moments naturels ; pour le fer de 0m,50, elle devrait être, environ, 20 à 22 millions de fois plus grande. Remarquons d'ailleurs qu'un moment eïfié est une quantité sui generis; algébriquement elle serait du degré — 1, puisque en vertu de la formule d'infléchissement,

El

c'est une quantité qui multipliée par une longueur \x, qui est du degré -t- 1, doit donner un angle 0, qui est du degré zéro

193. Triangles et trapèzes eïfiés. — (a) Rectangle et triangle unitaires d'une travée. — Définitions. — Nous avons vu que lorsqu'une poutre est encastrée sur ses deux appuis, chacun de ces encastrements donnait lieu à un moment, M0 et Mj, et qu'il en résultait une aire trapézoïdale de moments naturels qu'il faut apprendre à eïûer.

Or, un quelconque de ces trapèzes peut se décomposer en deux triangles ayant pour base commune la longueur / de la travée et pour hauteurs respectives les moments naturels sur les appuis M0 ou M, ; il faut donc apprendre à eïfier un triangle.

Adoptons une unité de moments, n (suivant les cas, on aura \i égal à 1 , 10, 100, 1000, . . . kilogramomètres) et nommons triangle unitaire d'une travée celui qui aurait pour base la portée / et pour hauteur l'unité de moment \i comptée sur la verticale d'appui : chaque travée aura ainsi son triangle unitaire de gauche et son triangle unitaire de droite; en les réunissant, ils constitueront le rectangle unitaire de la travée.

Eïfions chacun de ces triangles unitaires, et d'une façon générale (voir plus loin fig. 154), désignons par il l'aire eïfiée du triangle unitaire de gauche (appliquée en son .centre de gravité G) et par <i> Paire eïfiée du triangle unitaire de droite (appliquée en son .centre de gravité L) (1) : Le langage se trouvera abrégé par ces conventions, et lorsque nous dirons l'aire Q ou l'aire * de la travée, nous nous comprendrons.

La statique graphique nous fera connaître facilement non seulement les aires u et <f> de la travée, mais encore les verticales G et L de leurs centres de gravité et aussi leurs réactions sur chacune des piles: ce sont elles, surtout, qui nous intéressent.

Nous conviendrons de désigner ces réactions des aires a et <t> par l^s petites lettres w et cp ; sur la pile de gauche de chaque travée, w et» n'auront pas d'accent, tandis que sur la pile de droite elles en auront un et s'écriront w' et <?'.

Quant à la verticale de chacun de ces centres de gravité, nous avons vu que si le triangle n'était pas eïfié (fig. I) elle se confondrait avec la trisectrice, passant par g ; une fois le triangle eïfié, il n'en sera plus ainsi ; cependant, par analogie, nous nommerons la verticale du centre de gravité G (de la fig. II) une trisectrice eïfiée.

(b) Triangles et trapèzes quelconques. — Gela posé, considérons (fig. 154-1) un triangle unitaire (de gauche ou de droite, peu importe) d'une travée; il répond à l'unité de moment n ; traçons en dessous (lig. III) un triangle analogue, mais répondant à un moment quelconque M.

Les ordonnées des triangles M et \x, ainsi que leurs aires, sont entre elles dans le rapport constant M : Eïfions cha-

(1) La fig. 134 ne représente que le triangle unitaire de gauche. Ou imaginera une figure analogue pour le triangle unitaire de droite. Le point L n'existe donc pas sur la fig.

POlTItKS, A SECTION YAlilAllLE, ENCASTREES ET CHARGÉES

cun de ces deux triangles; soit en II le triangle p eïfié, et en IV le triangle M eïfié. Il est évident que, puisque en chaque point, les ordonnées de chacun des triangles I et III ont été

Triangle fi (unitaire)

Fif. 154

divisées par le même facteur El, le second triangle eïfié IV aura ses ordonnées, son aire et les réactions de cette aire proportionnelles aux ordonnées, à l'aire et aux réactions de l'aire du triangle unitaire eïflé ,u; et que leurs centres de gravité G et G seront situés sur la même verticale, c'est-à-dire sur la trisectrice ëïfiée ; le coefficient de proportionnalité sera M : \i. Nous pouvons donc dire que, si £2, w et w' sont l'aire et les réactions d'aires du triangle unitaire eïfié les quantités

et

seront les quantités analogues pour le triangle eïfié M. Par conséquent, pour ce qui provient des moments sur piles M0 et M. on aura le tableau ci-dessous.

Aires totales des triangles eïûés ;

lleaclinii

de gauche

. I de

droite

du triangle M

de gauche

> Réaction

du triangle M,

de droite

N'oublions pas que ces réactions sont précisément, au signe voulu près, les pentes que posséderaient sur les appuis les élastiques que les moments M0 et M,, agissant seuls, imposeraient à la fibre neutre de la poutre (v. n° 178-a).

194. Conditions ordinaires de l'eïfication d'une poutre. — (a) Poutre à variation continue de section. — Dans la pratique les poutres peuvent se classer en deux catégories : 1° celles dont le moment d'inertie varie d'une manière continue (fig. 155), et 2" celles dont le moment d'inertie change brusquement de valeur en certains points, mais reste constant entre deux points consécutifs (fig. 156).

Comme premier cas imaginons (fig. 155) une poutre dont la fibre neutre ab serait droite, mais qui serait limitée, en dessus et en dessous, par des bandes courbes symétriques. Comme construction, cette poutre serait formée (v. la coupe fig. III) d'une âme pleine en tôle f, de quatre cornières, c, c,... et de semelles s, s, s, s; le tout serait assemblé par des boulons ; les cornières, les semelles sont les mêmes par tout ; la hauteur seule de l'âme est variable. Nous apprendrons à calculer le moment d'inertie d'un pareil profil; il est évident que ce moment d'inertie varie d'une manière continue d'un point à l'autre do la poutre.

On dessinera la poutre (fig. I) puis, à des intervalles, autant que possible égaux entre eux, on fera des sections (fig. II) et on calculera leurs moments d'inertie I,,, [,, Is... Nous supposons, bien entendu, que E est constant. On adoptera une unité de moment \i et (fig. IV), supposant ce moment appliqué au-dessus de chaque appui, on en déduira en Aa//B la représentative des moments fléchissants. On sait que c'est le rectangle que nous avons appelé le rectangle unitaire naturel; la diagonale Ab le partagerait suivant les deux triangles unitaires naturels , c'est-à-dire non eïfiés. Cela fait, pour chacune des sections, on calculera l'expression a : El. On obtiendra ainsi les valeurs ;x : EIn, ;jt : El,, etc.; on les portera en ordonnées au droit de chaque section, ce qui permettra de tracer (fig. IV) en a'c'o'b' le rectangle unitaire eïfté. Cette courbe s'éloigne d'autant plus de la poutre que le moment d'inertie I est plus petit ; à tout prendre, elle est une représentative de Yinoerse des moments d'inertie de la poutre; nous allons d'abord nous en servir pour construire les triangles uni-

taires eïflés il et <i>. Il suffit de mener ce que nous nommerons la diagonale curviligne Ac"d"b' du rectangle eïfié. Elle est définie par la condition qu'elle doit partager ses ordonnées comme la diagonale reciiligne Af>, du rectangle naturel, partage celles de ce dernier. Dans le cas actuel la

Fig. 155

poutre est divisée en quatre parties égales, par conséquent les points correspondants de la diagonale curviligne sont à 1/4, 2/4 et 3/4 des ordonnées du rectangle eïfié.

On obtient donc ainsi en i> et <I> les triangles unitaires eïflés; nous verrons tout à l'heure quelles sont les lois qui les régissent et comment la statique graphique nous permettra de trouver les trisectrices eïfiées, c'est-à-dire les verticales de leurs centres de gravité, leurs aires Q et «i> et, surtout, les réactions w et w, <p et a/ de ces aires sur les appuis.

Ce même rectangle nous permet d'eïfier, graphiquement, une représentative quelconque de moments naturels, par exemple, celle qui est dessinée en A^Bj sur la fig. V.

L'opération revient à dilater (amplification ou réduction) les ordonnées de la courbe des moments naturels dans les mêmes rapports que sont dilatées celles du rectangle uni-

taire naturel. Le plus simple consiste à mener par le pied (tel que C,)4de chaque ordonnée une droite inclinée sur laquelle on reportera en Ctc et c' les longueurs mesurées sur les ordonnées du rectangle naturel et du rectangle eïfié de la fig. IV; des parallèles donneront ensuite en c\, o\ les points cherchés.

On voit que cette eïfication modifie considérablement la forme de la courbe primitive des moments naturels.

[b) Poutre à variation discontinue de section. (Fig. 156.) — Très souvent la poutre est à hauteur constante et c'est par des additions de semelles que l'on modifie le moment d'inertie. La fig. 156-1 fait connaître les zones sur lesquelles existent :

1° Les cornières seulement (zone 2) ;

2° Les cornières et une semelle (zones 1 et 3) ;

3° Les cornières et deux semelles (zones 0 et 4).

L'autre moitié de la poutre est supposée symétrique de la première. Nous donnerons plus tard des exemples où cette symétrie n'existera pas.

Sur la fig. II on a représenté les sections faites sur les

Fig. 156

différentes zones, lesquelles auront permis de calculer les moments d'inertie I0, 1,, \î...

POUTRES, A SECTION VARIAS)

m, i:.ncastiîi;i:s i;t CHARGEES

Sur la fig. III on voit on Art/Ai le rectangle unitaire naturel et en a'c'd'f...b' le rectangle naturel eïlié. Il procède par changements brusques de hauteur. Quant au triangle unitaire eïfié «l> on le voit e.n \c"d"e" . . .b' . Les éléments inclinés, tels que e'" f" seraient des portions de diagonales de véritables rectangles.

Sur la flg. IV, a été indiquée l'eïÛcation d'une courbe quelconque de inoinents naturels A^U,. Cette représentative ciliée, A,cJcJ.... etc., se compose d'une série d'arcs de courbes qui sont, dans l'étendue de chaque zône à section constante, des amplifications laites avec un rapport constant (fourni par la lig. III), de la courbe naturelle.

l'jri. Lois de l'eïfication d'un rectangle et de ses deux triangles partiels. — (a) Préliminaires. — Soit AabB (fig. 157-1) un rectangle de moments naturels (unitaires ou autres) ; nous le décomposons par sa diagonale rectiligne, en deux triangles.

Soit Aa'd'o'l/B le rectangle eïlié et soit kf'o'b' sa diagonale curviligne obtenue comme il est dit ci-dessus. Soient a et <l> les aires des triangles eïfiés, supposées appliquées en leurs centres de gravité.

Considérons une ordonnée quelconque Cd et le point f situé sur la diagonale rectiligne; le point f de la diagonale curviligne partage l'ordonnée eïfiée cd' dans le même l'apport que le point f partage l'ordonnée naturelle cd et les rapports de ces ordonnées sera le même que celui des aires élémentaires, (hachurées) qui les entourent : or, on a l'égalité de rapports

Cf cT7" CÂ~ ~fd f'd' ~C¥ ' ce qui prouve : 1° que l'aire partielle Cf du triangle eïfié *, est la composante, sur l'appui B, de l'aire Cd' du rectangle eïfié, et 2° que l'aire f'd' du triangle eïfié <> est la composante, sur l'appui A, de la même aire Cd'. Or, comme cela se reproduira pour chaque aire élémentaire nous pouvons énoncer le principe suivant :

« Les aires <> et * des triangles eïfiés de gauche et de « droite sont égales aux composantes, sur les appuis de « gauche et de droite, de l'aire totale du rectangle eïfié. »

Cet énoncé est équivalent au suivant qui est plus simple et qui nous sera plus utile par la suite.

(b) Théorème du funiculaire <>*. (Fig. IL) — « Tout « funiculaire (tel que mnpv) construit sur les aires (Q et <1>) « des triangles unitaires eïfiés est un trapèze. »

Autrement dit la corde, mv, du funiculaire est parallèle à son côté moyen, np.

lin effet, dire que <> et <l> sont les composantes de l'aire du rectangle, c'est dire que l'on a :

mt * tu ~ u '

mais d'autre part cette-<aire est aussi la résultante des aires a et «l> appliquées en n et en p, ce qui veut dire que

ce qui entraîne que mu soit parallèle à np. C.Q.F.D.

Fig. 157

(c) Conséquences. — L'aire a est évidemment égale à la somme de ses composantes. On a donc :

a = ta -+- o)'.

D'autre part, la composante de gauche du rectangle eïfié est égale à la somme des deux composantes de gauche des triangles, ce qui entraîne, d'après le théorème,

£> =z to H- ».

En comparant ces équations, on en déduit

w -f- to' = w + cp, d'où

Ce qui veut dire que, d'après le théorème des pentes sur les appuis (n° 178) :

(rf) Corollaire. — « Si une poutre, à section variable, est « successiuemcnt soumise sur chacun de ses appuis à un « même couple d'encastrement, les élastiques qu'elle pren- « dra dans chaque cas seront généralement différentes, « mais leurs pentes sur l'appui resté libre seront toujours « égales entre elles. »

Nota. — Les deux aires 12 et <l"sont dirigées suivant les trisectriceseï fiées. L'aire (£2 — t— *ï>) du rectangle eïfié sera dirigée suivant la verticale tq que nous nommerons, par analogie, la médiane eïfiée.

196. Tracé graphique de la médiane et des trisectrices eïfiées. — (a) Médiane. — La méthode de M. Collignon se prête particulièrement bien à la construction des funiculaires qu'il faudrait établir sur le rectangle et sur les deux triangles unitaires eïflés pour obtenir la médiane et les trisectrices eïfiées.

Reprenons (fig. 158-1) le rectangle eïfié Xa'b'B, et considérons une aire élémentaire répondant à l'ordonnée Ce'.

On a vu (n° 43) que le funiculaire Collignon n'exigeait pas forcément une distance polaire égale à 1/2 / ; au lieu de prendre comme pôle le point milieu de la portée, on peut choisir tout autre point et, particulièrement, une des extrémités, B par exemple.

Dans ces conditions, soit F (fig. II) la force représentative de l'aire élémentaire Ce'. On projette F en f sur la