AG'=2(1') AK'=Z

Fig. 158

verticale d'origine, on joint B/"' et le segment intercepté indiqué par le n° 1 (trait fort) donnera précisément le seg-

ment d'origine du funiculaire des forces telles que F. Seulement la distance polaire sera / au lieu d'être 1/2 l, et le funiculaire ainsi obtenu aura ses ordonnées moitié de celles de celui qui aurait le point milieu de la poutre pour pôle.

En portant (fig. III) tous les segments tels que 1 sur l'ordonnée d'origine, et en les totalisant, on obtiendra la longueur AG, et en joignant G à B, on aura en GB le côté final du funiculaire du rectangle eïfié.

De même, en portant en BK la somme des segments tels que 2 et joignant AK, on aura le côté initial. Par conséquent, la médiane eïfiée passera en J par le point de rencontre de AK et de BG.

(b) Trisectrices. — Passons aux triangles unitaires afin d'obtenir les trisectrices eïfiées. A cet effet, remarquons que le segment n° 2 est précisément la force représentative de l'aire partielle c'e" du triangle a, tandis que le n° 1 est celle de l'aire partielle Ce" du triangle «I1. Cela résulte de la proportion établie au n° 195. Ce" :7c1 = fk : fB.

Dès'Jors, on opérera sur 2 comme on a fait sur F. On projettera 2 en A/"', on joindra f" avec B et on obtiendra en 1' le segment d'origine et en 2' celui d'extrémité.

Dès lors (fig. III), on portera en AG' la somme des segments tels que 1' et en BK' celle des segments tels que 2'; on joindra AK' et BG' et la rencontre donnera en i un point de la trisectrice du triangle c'est-à-dire de la trisectrice eïfiée de gauche.

On la mènera jusqu'en I à la rencontre avec AK.

Pour avoir celle de droite, il suffira de mener l'horizontale II' et de prendre la rencontre I' avec le côté BG.

Cela résulte, d'après le théorème du n<> -195-6, de ce que le funiculaire Q* est toujours un trapèze.

(c) Nota. — 1° Si l'on voulait ramener l'épure à l'échelle ordinaire des funiculaires Collignon, c'est-à-dire faire en sorte que le coefficient d'échelle fût 1/2 /, il faudrait, soit doubler toutes les ordonnées de l'épure précédente, soit dans l'évaluation des aires partielles prendre comme base de réduction 1/4 / au lieu de 1/2 l.

2° On voit que ces constructions dispensent de tracer la diagonale curviligne du rectangle eïfié.

Ces préliminaires posés, abordons le problème général de la poutre à section variable, chargée et encastrée sur ses appuis.

197. Problème de la poutre encastrée, non chargée. — (a) Enoncé. — Une poutre, non chargée, à section variable, est encastrée sur ses appuis sous des pentes o0 et o, (fig. 159-1), qui la forcent à s'écarter de la ligne d'appui. Quels sont les moments AI0 et Mj développés dans les boîtes d'encastrement? Quelle est l'élastique prise ?

{b) Définitions. — Soient, représentés à une échelle déterminée, M0 et M,, les moments inconnus sur les appuis, et

POUTRES, A SECTION \ Alil AI'.Li;, KM. \S I I; I I. s i;i CHARGEES

soit, comme conséquence, M0M, la représentative, trapézoïdale, des moments aux différents points de la poutre (flg. 159-11.)

Nous nommerons moment triso.cleur de gauche et moment trisecteur de droite, ceux dont les ordonnées li et IV se confondent avec les trisectrices eïliées. Nous désignerons le premier par M et le second par M'. Cola posé, nous allons démontrer le théorème préliminaire ou Lemme suivant :

(c) Lemme des moments trisecteurs. — « Pour une poutre donnée, à section variable, non chargée et encas- « trée sur ses appuis, chaque moment trisecteur ne dépend « que de la pente d'encastrement au-dessus de l'appui qui « lui correspond.

« Algébriquement, ce moment trisecteur est au moment •< unitaire \x comme la pente d'encastrement (o0 ou o,) est « à l'aire ciliée du triangle unitairecorrespondant (a ou *). »

Appliquons le théorème des pentes sur les appuis (v. n° 178). A cet effet décomposons le trapèze AM0 M,B en ses deux triangles et écrivons ensuite que la pente à l'origine oH est égale à la somme des réactions d'aires des moments cïfiés, réactions dont nous prenons les expressions au tableau du n° 193; nous aurons l'équation

qui s'écrit en chassant le dénominateur (jl :

D'autre part, menons par le point I une parallèle à AB ; écrivons que les deux triangles M0m0l et Mj/iJ, opposés

Moment trisecteur dé gauche Moment trisecteur Je droite

Fig. 151»

par le sommet, sont semblables et remarquons que. li étant la triseclrice, on a l'égalilé de rapports

Ai : iLi = io' : <•>,

on obtient la relation

Ai w'

"7ÊF ~ ~

.Mais nous savons (v. n° 195-c) que w' = ©; cette relation devient donc, en chassant les dénominateurs :

(M — M„) cj — (M, — M)<p :

résolue par rapport à M elle donne

M0io -+- M,«p

En remplaçant le numérateur par sa valeur tirée de (1), il vient

qui peut s'écrire, en se rappelant en outre que <•> 4- s> = U, (2) M 5" Sn

Ll 10 ©

ce qui démontre le lemme.

Pour le moment trisecteur de gauche M' on aura

[JL 10 '

(d) Construction des moments trisecteurs. — La construction des moments (risecteurs se fera comme suit :

Traçons en A'C et en B'D' (fig. 159-1) les pentes imposées d'encastrement 80 et o,. D'autre part, nous savons construire (v. n° précédent, fig. 158) les trisectrices I et V et les pentes Q — w -+- © et * = co'-Hcp', répondant à un moment unitaire

Dès lors, traçons en A'C" et en B'D" les pentes li et *. Coupons le tout par une horizontale située à la hauteur \i ; nous obtenons en CC et en DD' les hauteurs M et M' ; nous les reportons en 1 et l' (fig. II) sur les trisectrices eïfiées ; nous menons la droite II' ; nous la prolongeons jusqu'aux verticales d'appui, ce qui nous donne en M0 et en M, les moments inconnus sur les appuis.

(e) Problème inverse.

On se donne les moments d'en-

castrement M0 et M,. Trouver les pentes ort et S4.

On joint M0 et M, (fig. II) ; on prend en I et I' les recoupements avec les trisectrices eïfiées ; on reporte les longueurs li et 17 en CC et DD' (fig. I) ; on joint C'A', D'B\ ce qui donne, à l'échelle de l'épure, les pentes d'encastrement cherchées.

(/") Elastique des moments M0 et M4. — Ayant la représentative M0M, des moments naturels, on l'eifiera, ce qui donnera, par exemple, la représentative eïflée st ; en construisant le funiculaire de ses aires on aura l'élastique cherchée.

ST»n. 16

Nota. — La recherche des trisectrices eïiïées se fait, en somme (v. n° 196), en construisant l'élastique des triangles unitaires Q et * ; l'élastique des moments MQM, s'obtiendra en ajoutant analytiquement les deux élastiques <> et fl>, mais après avoir amplifié la première dans le rapport M0 : ,u et la seconde dans le rapport M, : ;ju

198. Problème général de la poutre encastrée et chargée. — (h) Enoncé. — On se donne : 1° les charges appliquées sur la poutre ; 2° les pentes d'encastrement y0 et y,, c'est-à-dire les directions que les boîtes d'encastrement imposeront à la fibre neutre au-dessus de ses appuis.

On demande : 1° de calculer les moments d'encastrement M0 et M, ; 2° de tracer l'élastique définitive.

[b] Solution. — Soit (Gg. 160-1) en AFB la courbe des moments naturels de charge et en AF'B celle de ces mêmes moments eïfiés. Cette figure est toute théorique ; nous donnerons plus tard, à l'occasion des poutres en tôle, une application numérique de cette question. Nous en déduisons en A'T'B' (fig. II) l'élastique des moments de charge et, en particulier, les pentes a0 et at (négatives ici) de cette élastique au-dessus des appuis, supposés libres.

Fig. 160

D'un autre côté, on se donne (fig. II) en y0 et yl (positives ici) les pentes imposées pour les encastrements ; par conséquent, les pentes

K — *o — ïo ct 5i = ai — Yi

sont ce que nous avons déjà appelé les pentes de correction ; et les moments inconnus d'encastrement Mu et M, ont précisément pour objet de produire ces pentes de correction. Nous sommes donc ramenés au problème précédent.

Alors (fig. III) : 1° nous dessinons les pentes de correction S0 et S15 et aussi les pentes <> et * ; 2° nous coupons par une horizontale a"b" menée à la hauteur p et nous obtenons en C"c et D"</ les moments trisecteurs ; 3° nous reportons (fig. I) ces moments trisecteurs M et M' sur les trisectrices ; nous en déduisons la représentative M0M, et par suite les moments M0 et Mt.

(c) Moments définitifs. — Les surfaces couvertes de hachures indiquent (fig. I) les moments définitifs modifiés par les encastrements ; on les prendra positifs au-dessus de la ligne M0M, et négatifs au-dessous. Aux points 6 et 6' ils sont nuls et l'élastique définitive présentera une inflexion.

(d) Elastique définitive. — L'élastique définitive s'obtiendrait en ajoutant analytiquement l'élastique de charge A'T'B' (fig. II) à l'élastique A'T'B" des moments U0Ml (fig. III), construite comme il a été dit ci-dessus.

On voit que toutes ces constructions sont très simples ; nous terminerons cette étude en énonçant le théorème suivant qui est une conséquence évidente de tout ce que nous venons de dire.

199. Théorème des moments trisecteurs. — (a) Prélimi naires. — Etant donné une poutre à section variable, chargée d'une manière constante et encastrée sous des pentes quelconques au-dessus de ses appuis, si l'on nomme pentes de correction les pentes d'appui qu'il faudrait imposer à l'élastique de charge pour la faire entrer dans les boîtes d'encastrement, nous aurons le théorème suivant :

(b) Théorème. — « Chacun des moments trisecteurs est « au moment unitaire comme la pente de correction de l'ap- « pui correspondant est à l'aire eïfiée du triangle unitaire « répondant à ce même appui. »

(e) Remarques. —1° Cette sorte d'indépendance de chacun des moments trisecteurs est très remarquable ; en voici une conséquence intéressante.

Lorsque nous étudierons les poutres continues, c'est-àdire reposant sur plusieurs appuis A, B, C, D, E (fig. 161), si sur la culée, (ou premier appui A), la poutre est encastrée, le moment trisecteur de gauche de la première travée ne dépendra absolument que des charges de cette travée et de la pente initiale d'encastrement 80 ; on pourra surcharger à volonté les autres travées, modifier les hauteurs des appuis, autres que le premier A et le second B, ce moment trisecteur de gauche restera invariable et calculable a priori