POUTRES CHARGÉES DUN POIDS UNIQUE EN LEUR MILIEI

(d) Elastique. -- Pour obtenir la courbe élastique, décomposons le triangle des moments en deux autres par la verticale Ce, puis appliqnons au centre de gravité de chacun de ces triangles élémentaires une force fictive proportionnelle à sa surface ; c'est la construction que nous avons déjà appliquée plusieurs fois ci-dessus (fig. II et III).

En construisant un funiculaire sur ces forces, par la méthode de M. Collignon, on obtient le polygone élastique A'G'B' dont les côtés sont tangents à la courbe élastique en A', G' et B' (fig. III). On sait que le coefficient d'échelle est alors /:' : 8EI (v. n° 178-c et d).

(e) Flèche milieu. — La plus grande flèche, <\>, celle du point C, a pour valeur, sur l'élastique,

(flèche-épure) Y = —

et dans l'espace, en la multipliant par le facteur /' : 8LI

(flèche-espace) — —— — ■

(f) Pentes sur les appuis. — Les pentes initiale et finale de la fibre neutre ont sur l'épure les valeurs suivantes :

P / P 6 '3 - Wl

et dans l'espace, en les multipliant par le facteur /3 : 8EI

(pente-épure)

(pente-espace)

202. Poutre encastrée horizontalement sur chacun de ses appuis. — (a) Moments. — Cet exemple (fig. 166) ne diffère du précédent qu'en ce que la poutre est encastrée horizontalement à ses extrémités.

Les moments d'encastrement doivent donc être tels qu'ils ramènent à zéro les pentes o^' et «J trouvées ci-dessus. D'après ce que nous avons dit à propos des poutres soumises uniquement à des couples d'encastrement égaux (v. n° 187), la représentative des moments d'encastrement est une horizontale de hauteur égale aux 3/2 de l'ordonnée du point d'intersection de la tangente à l'origine de la courbe élastique avec la première trisectrice, c'est-à-dire, dans le cas.de la figure 166, aux 3/2 de 1/6P, soit 1/4P.

La distance polaire étant 1/2/, les moments d'encastrement, Mu et M,, seront donc égaux entre eux et l'on aura

CM, )-=P v * = PJ l M, ) 4 2 8

Quant au moment milieu, qui tout à l'heure était 1/4 P/, il faut le diminuer de I /8P/, et il devient :

AUax- -4" -- - +-•

Ainsi, le moment fléchissant maximum n'a plus, dans ce cas, que la moitié de la valeur qu'il avait dans le cas précédent, et il est égal aux moments d'encastrement.

(moments d'encastrement)

(b) Efforts tranchants. — Les efforts tranchants sont les mômes, ainsi que les réactions sur les appuis.

(c) Elastique et flèche. — Quant à l'élastique elle s'obtiendra en ajoutant analytiquement celle que nous avons trouvée au numéro précédent avec l'élastique due aux moments d'encastrement seuls, et comme la flèche maximum de cette dernière est représentée sur l'épure (fig. II) par 1/8 P, on a comme représentative de la flèche définitive prise par la poutre en son milieu

(flèche-épure) : Y = - — - = ^

et la flèche réelle prise dans l'espace a pour valeur

(flèche-espace) * ^ £ X = * X j^-

Fig. 166

Les encastrements ont donc réduit les flèches au quart de la valeur qu'elles avaient avant l'encastrement.

Enfin les points d'inflexion de la courbe élastique sont aux points <p<p" — tptp" situés au premier et au troisième quart de la longueur de la portée.

(d) Pentes sur les appuis. — Elles sont nulles par le fail môme de l'encastrement, puisque ce dernier est horizontal.

203. Poutre encastrée horizontalement sur un appui et posée sur l'autre. — (a) Moments. — Dans ce cas, la pente de la fibre neutre au-dessus de l'appui encastré est nulle ; le moment fléchissant au-dessus de l'autre appui est nul.

Le moment d'encastrement doit donc être tel qu'il puisse annuler, au-dessus de l'appui d'origine, la pente a0 trouvée pour le premier cas (n° 201-/"].

En nous reportant à ce que nous avons déjà dit plus haut (v. n° 185), nous prendrons sur la première trisectrice

CAS USUELS DES POUTKKS A UNE TKAVEE

une hauteur L'7" = 1/6P (v. iig. 167-11), et en joignant D7", nous aurons une droite qui, prolongée, rencontrera l'ordonnée d'origine en a" à une hauteur

—„ 3 P P A" =iX6=V la représentative de l'ordonnée d'encastrement sera

Aa — - M'a1

et le véritable moment d'encastrement sera, en multipliant par la distance polaire 1/2/,

Mm,x = M„ = AaX i = T^P'- 1 lb

Le funiculaire des moments sera le triangle acD dans lequel l'ordonnée cen prise par rapport à la droite «D, est

Fig. 167

égale à 1/2P et le moment fléchissant au milieu de la portée sera représenté par

Ce = rc,

et sa véritable valeur sera

c'est-à-dire un peu moins que la valeur du moment sur l*appui d'origine, lequel était 3/16, c'est-à-dire 6/32 de P/. Ainsi, le moment maximum se produit à l'encastrement.

(b) Réactions et efforts tranchants. — L'effort tranchant dû au couple d'encastrement est mesuré (v. n° 47) par la droite Ce, (fig. I), et il a pour valeur 3/16P, il sera à ajouter à la réaction primitive de l'appui A et à retrancher de la réaction de l'appui B. Les réactions primitives des appuis étant égalesà 1/2P, les réactions définitives seront

[réactions d'appui)

= ,:ip

Quant à la représentative des efforts tranchants (fig. I), on l'obtiendra en remontant celle du premier cas (fig. I60-IV) de toute la pente de la ligne aD (fig. 167-1), qui était la représentative des moments dûs à l'encastrement en A. Cette pente est, sur l'épure, 3/8P : l; dans l'espace il faudrait la multiplier encore par 1/2/, ce qui donnera 3/16 P. Cela placera la ligne des efforts positifs à 8/16 + 3/16 soit 11/16P et celle des efforts négatifs à 5/16P.

(c) Elastique et flèche. — La flèche dans le cas de la poutre librement posée (v. n° 201) est, sur l'épure, représentée par 1/6P ; d'un autre côté la flèche due au moment

d'encastrement en A est sur l'épure - X 0 (v- n° 184-e).

La flèche que prendra la poutre dans le cas que nous éludions sera donc représentée par

(Jlèche-cpure) et la flèche dans l'espace sera (flèche-espace) <\ = — X

48ËT

(d) Pente d'extrémité. — Nous avons vu (v. n" 184-6) que sur l'appui libre la pente a, que fait prendre un moment d'encastrement M0 appliqué sur l'autre appui était égale à la moitié de celle a0 qui est prise sur l'appui encastré. Or, cet encastrement ayant pour objet de détruire la pente a0 du premier cas, il en résulte que a, est égal à la moitié de a0 du premier cas, c'est-à-dire que l'on a

[pente à l extrémité) a, = — — •

-irO JjI