POI TRES I N1FORMÉMENT CHARGÉES

% 2. — Poutres uniformément chargées

20i. Poutre posée sur deux appuis simples. — (a) Moments. — Soit P la charge totale. Nous savons que dans le cas où elle est uniformément répartie, le funiculaire des charges est une parabole AcB (fig. 1(58-1) et que si elle est tracée par la méthode Collignon son ordonnée maxirna Ce (v. n° 51) est au milieu de la portée et est égale à 1/4P. Le coefficient d'échelle étant 1/2/, cela donne pour le moment maximum

PJ 8 '

(b) Efforts tranchants et réactions. — L'effort tranchant (v. n° 51) est la droite ZZ'. Elle passe par le milieu de la poutre ; elle recoupe la verticale d'origine à la distance — I- 1/2 P qui est la réaction X0, et elle rencontre la verticale d'extrémité au point Z', à une distance — 1/2P, qui est égale et de signe contraire à la réaction d'extrémité X,.

(c) Pentes sur les appuis. — Considérons la parabole AcD des moments fléchissants ; sa surface S est, on le sait, les 2/3 du rectangle enveloppant

.Ji|-4

\ si

(II

â— ~r+— -jl— " ! IL' C

lie- -\-

, ~3Tui,

(III

jt.U'

Fig. 168

Prenant comme base de réduction 1/2/, la hauteur H du rectangle équivalent serait :

Dès lors le funiculaire Collignon construit sur cette force fictive, H = 1/3 P, supposée appliquée au milieu se trace (fig. III) en portant 1/3 P de A' en x , et en joignant x'B'. On obtient ainsi le funiculaire A'c',B' qui fait connaître les pentes-épure

«J j 3/' 8EI, on aura les pentes-espace

a° } - -i — a, ) ~~ 24 ' 8ËT

(pentes-épwc)

En multipliant par l9 :

(pentes-espace)

[d) Elastique et flèche. — Pour serrer de plus près l'élastique, décomposons la parabole en deux moitiés par la verticale milieu Ce (fig. I). L'aire S' de la demi-parabole est

Nous la remplacerons par une force fictive F qui sera, en prenant toujours 1/2/ comme base de réduction (fig. I),

Elle est appliquée au centre de gravité G de la demi-parabole et l'on sait (v. n° 66, fig. 52) que ce centre de gravité est situé aux 3/8 de la demi-portée à partir du point C.

Sur la force F et sur sa symétrique, pour l'autre demiparabole, nous construisons en A'mWB' (fig. III) le funiculaire Collignon. L'élastique lui est tangente, non seulement aux extrémités, mais encore au milieu, ce qui fait connaître en c'e" la flèche-épure Y et l'on a évidemment, à l'aide des rapports :

(flèche-épure)

En multipliant par ls : 8EI on aura la flèche-espace

(flec lie-espace) <\> =

(e) Comparaison avec le cas de la même charge concentrée. — La flèche est les 5/8 de ce qu'elle serait avec la môme charge concentrée au milieu ; quant au moment maximum il est la moitié de ce qu'il serait.

205. Poutre encastrée horizontalement sur chacun de ses appuis (fig. 109). — (a) Moments. — Les moments d'encastrement M0 et M, doivent être calculés pour détruire les pentes d'appui 20 et a, de l'élastique précédente.

Pour les déterminer on mène, sur la figure précédente,

STAB. 17

CAS USUELS DES POUTRES A UNE TRAVEE

celles-ci rencontrent les tangentes

(168-III) les trisectrices extrêmes en /' et k' dont les ordonnées sont (fig. 168)

Nous savons que les moments d'encastrement sont représentés par les 3/2 de ces ordonnées, c'est-à-dire par U/6 P. Donc, en descendant la parabole précédente (flg. 168-1) de

Fig. 169

toute cette hauteur on aura le nouveau funiculaire des moments (fig. 169-1). Le moment maximum se trouve alors audessus des appuis et il a pour valeur

Umax - g X - - — •

{b) Elastique et flèche. — Les ordonnées de l'élastique s'obtiennent, comme nous l'avons déjà fait plusieurs fois, en prenant la différence entre les ordonnées de l'élastique due aux charges seules qui a été tracée (fig. 168-111) et de l'élastique qui serait due aux moments d'encastrement seuls.

On trouve ainsi pour la flèche définitive :

5P -4P P (flèche-épure) f =___=.

La flèche dans l'espace sera, en multipliant par l3 : 8EI :

(flèche-espace)

Les points d'inflexion cp' et tp' sont situés à une distance de

c'est-à-dire sensible-

la verticale milieu égale à - X — 8 2^3

ment 0,288/ ou en forçant 0,30/ ou encore 6/10 de la demiportée.

On prouve ce fait en remarquant que dans une parabole placée comme celle des moments les ordonnées sont proportionnelles aux carrés des abscisses ; on a donc (fig. I)

dtf 1

d'où l'on déduit en extrayant la racine carrée

serait si la charge était concentrée au milieu dans le cas d'appuis simples.

Le moment maximum est réduit aux 2/3.

206. Poutre avec encastrements les plus favorables (fig. 170). — (a) Choix des moments d'encastrement. —

Dans le cas précédent le moment fléchissant sur l'appui était figuré par 1/6 P et celui du milieu de la portée par 1/12 P. Mais si au lieu de descendre la parabole primitive de la hauteur 1/6 P on avait pris seulement Aa = 1/8 P, le moment fléchissant au milieu aurait été représenté par

Fig. 170

1/8 P et la poutre aurait, autant qu'il étaitpossible, gagné en résistance, puisque l'ancien moment maximum de lapoutre libre sur ses appuis aurait été, pour ainsi dire, coupé en deux parties égales.

Prenons donc comme représentative des moments d'encastrement d/8 P, nous en déduirons les pentes d'encastrement, nous trouverons ainsi

(b) Conclusion. — Si l'on dispose l'encastrement de telle sorte qu'il réduise des 3/4 la pente que la poutre aurait prise librement au-dessus de ses appuis, le moment fléchissant est la moitié de ce qu'il serait dans le cas d'une poutre libre, et la flèche de la courbe élastique serait réduite aux 2/5. Quant au point d'inflexion cp, il partagerait la demiportée dans le rapport de là y/2- Tout cela est facile à démontrer sur la figure ci-contre (fig. 170).

207. Poutre encastrée horizontalement sur un appui et posée sur l'autre. — (a) Moments. — Nous raisonnerons

POUTRES ( N1FORMÉMENT CHARGEES

comme nous l'avons fait précédemment. En considérant le funiculaire élastique obtenu dans le premier cas, nous porterons sur la trisectrice, en /" la longueur VI' = 1/9 P déjà trouvée (fig. 1 68-111) et qui répondait à la pente à l'origine a,, de la première élastique ; nous joindrons les points /" et B' (tig. 171-1) et en prolongeant la droite ainsi obtenue jusqu'à la verticale d'origine nous aurons

AVi'

Le moment d'encastrement en sera les 3/2, ainsi que nous l'avons déjà dit, ce qui donnera sur l'épure (Dg. Il)