P PI
{flèche-espace) ^=-PX ^ = 10 — (.
La flèche de la poutre est donc, dans ce cas, 16 fois plus forte que dans celui où elle repose sur deux appuis et où elle est chargée au milieu d'un poids P.
(c) — Effort tranchant. — L'effort tranchant T est constant (fig. I) et égal à + P.
209. Corbeau chargé d'un poids uniformément réparti, —(a). Moments. — Soient AB lalongueur ducorbeau(fig. 173), P le poids qu'il supporte. Cette charge peut être représentée par la surface d'un rectangle ayant pour base la longueur AB et dont la surface serait proportionnelle àP; soit ABCD ce rectangle.
Décomposons-le en éléments verticaux de même largeur et considérons le système des forces qui seraient proportionnelles aux rectangles élémentaires et qui seraient appliquées à leur centre de gravité. Toutes ces forces sont égales et leur somme est égale à P. Si nous construisons sur elles un funiculaire par la méthode indiquée plus haut (n° 200), nous obtiendrons un polygone dont les côtés seront tangents au funiculaire courbe des moments fléchissants.
En général il suffit de remplacer la force totale P uniformément répartie par un nombre très limité de forces p' dont la somme est égale à P, et le polygone funiculaire obtenu à l'aide de ces forces p' suit d'assez près la courbe funiculaire pour qu'on puisse facilement tracer celle-ci.
Dans la fig. 173, nous avons divisé la longueur de la poutre en G parties égales et nous avons considéré les 3 forces égales à 1/3 P qui agissent aux points impairs de cette division; nous avons ensuite construit sur ces forces un polygone funiculaire par la méthode indiquée au n°200,
C0RBEA1 \
et en prenant 1/2 l pour distance polaire; ce polygone aôcdB' nous suffit pour tracer la courbe des moments fléchissants qui est tangente à ses côtés (flg. II).
A l'inspection de la fi g. 173, on reconnaît que le moment fléchissant développé dans la poutre est nul en B' et que
Fig. 173
en A' il est représenté par P, car la somme des segments hl-+-h3-i-hs est égale à P. Le moment fléchissant M0 en A est donc
Mmax = M0 = P X |.
Quant à la courbe aB', c'est une parabole à axe vertical, car les pentes des tangentes à cette courbe croissent en progression arithmétique lorsque les abscisses des points de contact par rapport au point B' croissent aussi en progression arithmétique. Ces pentes sont proportionnelles aux abscisses.
(b) Efforts tranchants. — Les efforts tranchants sont représentés par les ordonnées de la droite ZB". Ces ordonnées sont d'ailleurs égales aux pentes des tangentes à la courbe des moments.
(c) Élastique et flèche. — Pour obtenir la flèche prise par la poutre à son extrémité libre, considérons une force fictive égale à la hauteur d'un rectangle équivalent à l'aire des moments fléchissants et qui aurait pour base la distance polaire 1/2 / ; cette force fictive sera donc représentée par
En construisant sur cette force, comme il est dit n°20I, un funiculaire avec 1/2 l pour distance polaire on obtient en C"D"la tangente à l'extrémité de la courbe élastique et la longueur B"D" est celle de la flèche cherchée.
Si maintenant on remarque que la force fictive agit à 1/4 de la longueur A"B" parce que c'est à cette distance que se trouve le centre de gravité G de l'aire A'B'a extérieure à la parabole (1), on voit que le segment B"D" a pour valeur :
(flèchc-épure)
telle est la valeur de la flèche mesurée sur l'épure; dans l'espace la vraie flèche sera
(flèche-espace)
l3 P/1 W=PX8¥f = 6 48ËT
Cette valeur est à celle de la flèche que nous avons obtenue pour le corbeau chargé d'un poids unique dans le rapport de 3 à 8.
(1) Ea effet (fig. 174\ soit G' le centre de gravité du segment intérieur; ou sait (v. n° 66) qu'il est situé aux 5/8 de la largeur et que sa surface est S' = 2/3 / X h- La surface S extérieure est S= 1/3 lX.lt.
Fis. 1T4
Ecrivons que le moment de S par rapport à OY est égal au moment du rectangle diminué du moment de S', nous aurons l'équation
x X 7, » = M» X 1 - J ft X - î,
d'où l'on lire
CAS USUELS DES POUTRES A UNE TRAVEE
