Application numérique. — (a) Énoncé. — Une

série de poutres en hois de 6m de longueur supportent, chacune, une charge totale uniformément répartie de 2400 k.

L'une d'elles, la poutre A, supporte en outre, à lm,20 du

mur d'appui, une surcharge de 800 k. ; une autre, B, supporte la même surcharge de 800 k., à 2m,40 du mur.

Les poutres auront toutes la même hauteur b = 0m,65. On demande de calculer : 1° l'épaisseur a des poutres courantes; 2° les épaisseurs a' et a" des deux poutres surchargées A et B.

On adoptera 600000 k. pour résistance de sécurité du hois, par mètre carré

(b) Poutres courantes. — Nous avons :

P = 2400', / = 6m,00, Mma L'équation d'équarrissage donne :

I M 1800 v~ R " il vient, en faisant :

b = 0,05 et 62 = 0,4225 ,

Km = On a donc K <

1+m 24-1et c'est le maximum tangentiel qui

convient.

Le coefficient de majoration est alors

Telle est la majoration à imposer au moment M dans la formule d'équarrissage et comme, d'après cette formule, la largeur a est proportionnelle h M lorsque b reste constant, ce qui est une des conditions imposées, il en résulte que l'on aura

a' = aX 1,28 = 0,420 X 1,26 = 0,537.

(d) Poutre B. — Pour cette poutre on a

par conséquent c'est le maximum anguleux qui convient ; le coefficient de majoration est alors

et par suite,

a" = a X 4,60 = 0,426 X 1,60 = 0,681. Les équarrissages des trois poutres sont donc : [ a = 0,426 b - 0,630 \ a! = 0,537 = (0,426 X 1,26) 0,681 = (0,426 X 1,60).

la"

PROBLÊME DE LA h>ru;i; si liC.il ,ï:t:

Il est évident que pour la dernière poutre B, la largeur est très grande ; on la formera par deux pièces accolées.

(e) Solution par hauteurs variables. — Il vaudrait peutêtre mieux, pour l'aspect, si les circonstances le permettaient, adopter une largeur constante a et faire varier les hauteurs b, b' et b". Or, celles-ci entrent au carré dans l'équation d'équarrissage; autrement dit, la hauteur b est proportionnelle à la racine carrée du moment maximum ; par conséquent, une fois trouvée la hauteur b des poutres courantes, il faudra, pour les poutres surchargées, la multiplier par v^o et \fo' qui sont

En adoptant la même poutre courante, cela donnera poulies poutres les équarrissages suivants :

La poutre B serait bien haute et peut-être hors mesure.

Cherchons une autre solution ; prenons une largeur commune a, un peu plus grande ; 0,50 par exemple, au lieu de 0,422.

L'équation d'équarrissage donne comme ci-dessus :

d'où

b = ÏÏXo = 0,36

Dès lors, on aura

à l'œil tout au moins, cette solution paraît plus satisfaisante.

216. — Abaque résolvant le problême de la poutre surchargée. — (a) Sa construction. — Posons Km = x, o = y et 8' = ?/ ; dans ces conditions les coefficients de majoration o et 2' auront pour expression

y = (1 -hx)2, y' = (2.r-hK)(2-

L'équation (1) représente une parabole dont le paramètre, c'est-à-dire la forme, est indépendant de K.

L'équation (2) représente, lorsque l'on fait varier K, une série de droites. On fera varier K par dixièmes, entre 0 et 1 et, en construisant cette parabole OB' ainsi que ces droites, on aura l'abaque ci-après (fig. 190).

Je dis que les droites représentées par l'équation (2) sont tangentes à la parabole.

En effet, cherchons les points d'intersection de l'une d'elles avec la parabole ; les abscisses des points d'intersection s'obtiendront en éliminant y entre les équations (1) et (2), ce qui donnera l'équation suivante en x :

qui devient, en développant et en simplifiant :

Le premier membre est le carré parfait (x-hK — 1)- • ce qui prouve que les deux racines x' et x" sont égales entre elles et que l'on a :

Par conséquent, chaque droite coupe la parabole en deux points qui sont confondus en un seul, autrement dit, elle lui est tangente. C. Q. F. D.

Pour une valeur déterminée de K, par exemple K = 0,7, la ligne qui, par ses ordonnées, donnera le coefficient de majoration à adopter se composera donc : 1° de la parabole depuis l'origine O jusqu'au point K = 0,7 et 2° de la tangente à cette parabole, depuis ce point jusqu'à l'autre point 0,7 marqué sur le cadre à droite.

Dès lors la règle pour se servir de l'abaque est la suivante:

(b) Règle. — 1° Calculer le rapport K = a : - qui fixe

la position de la surcharge par rapport à la demi-portée, et adopter, comme représentative du coefficient de majoration, la parabole prise à partir de l'origine 0, mais continuée ensuite par celle de ses tangentes qui répond à ce rapport K.

2° Calculer le rapport m = P' : P de la surcharge P' à la charge uniformément répartie P et faire le produit Km.

3° Prendre pour abscisse cette valeur Km et l'ordonnée correspondante de la représentative ci-dessus donnera le coefficient de majoration, c'est-à-dire le nombre par lequel il faudra multiplier le moment fléchissant maximum du à la charge P pour tenir compte de la surcharge P'.

P = 2500*. P' = 800. m = - = 0,32. Km = 0,21 .

L'abscisse Km = 0,21 nous donne le point n sur l'axe des x; son ordonnée est à prendre jusqu'en n' sur la parabole, puisque le point n' est avant le point de la parabole répondant à la tangente K = 0,62.

En mesurant nn', on a pour le coefficient de majoration 2 = nn' — 1 ,45.

CAS USUELS DES POUTRES A UNE TRAVÉE

POUTRE SURCHARGÉE Abaque no i, serrant pour les Poutres surchargées, et faisant connaître, a uie, le coefficient de majoration à appliquerai! moment maximum de la même poutre uniformément chargée.

{d) 2e application. — On a comme données :

Km = 0,63.

L'abscisse Km = 0,63 donne le point g sur l'axe des x ; son ordonnée est à prendre jusqu'au point g' qui est situé entre les deux tangentes qui sont marquées: K = 0,8 et K = 0,9, et qui répondront sensiblement à K = 0,88. On a : pour le coefficient de majoration à adopter,

8' = gg> = 2,39.

(e) Remarque pratique. — Cet abaque montre que les tangentes ne s'écartent notablement de la parabole que poulies valeurs de K les plus grandes, telles que K = 0,9, K = 0,8...., ce qui veut dire, alors, que la surcharge est placée très près du milieu de la poutre. Si de plus le produit Km est grand, ce qui exige que le rapport m de la surcharge à la charge soit grand lui aussi, alors on sera dans les conditions de la 2e application et il y aura véritablement lieu, au point de vue de l'économie, de tenir compte de ces tangentes, c'est-à-dire, en somme, d'appliquer le second coefficient de majoration S'.

S'il n'en est pas ainsi, c'est-à-dire si K aussi bien que m ont de faibles valeurs, on peut, sans grande erreur, se servir toujours de la parabole, c'est-à-dire appliquer le premier coefficient de majoration

ô = (1 -+- Km)2.

En opérant ainsi on sera conduit à donner aux pièces des dimensions un peu trop fortes, ce qui fournira un surcroît de sécurité.

C'est ce que nous ferons, en général, dans les planchers en bois, lorsque nous calculerons les solives qui recevront des surcharges par le fait, soit de chevêtres, soit de linçoirs, soit même de cloisons légères; nous y serons autorisés parce que ces surcharges seront ordinairement placées assez près des murs d'appui.

GHAPTTRE III PLANCHERS EN lïois

\re SECTION Plancuers a travures simples

§ L — Construction des plancuers en bois et charges qu'ils supportent

217. — Définitions et classifications. — L'élément de résistance de tout plancher, qu'il soit en bois ou en fer, est la solive.

Si les solives reposent directement sur les murs (fig. 191), on dit que le plancher est à travures simples ; on les construit ainsi lorsque la portée, ou espace à franchir, est faible.

Si les solives reposent sur des pièces plus fortes, nommées poutres, tandis que ces dernières s'appuient sur les parties les plus solides des murs d'appui, on dit alors que le plancher est à travures composées (v. plus loin fig. 203). Dans un cas comme dans l'autre, l'ensemble des solives constitue le solivage : on a un solivage parallèle lorsque (fig. 191) les solives sont toutes parallèles entre elles et, en général, de même équarrissage; on a un solivage enchevêtré lorsque (fig. 200), elles sont dirigées dans différents sens et lorsque certaines d'entre elles sont supportées par les autres.

218. Composition d'un plancher. — (a) Solives. — Avant de commencer l'étude des planchers, nous allons indiquer sommairement comment on les construit ordinairement.

Soient M et M' (fig. 191) les deux murs qui limitent l'espace à couvrir; on pose de l'un à l'autre des pièces de bois nommées solives dont Yécartement o d'axe en axe est variable, mais ne dépasse pas généralement 0m,50. Cet écartement dépend d'ailleurs, ainsi que nous le verrons, du poids à porter et de l'équarrisage des pièces de bois employées. Les solives sont plus longues que l'intervalle / qui sépare les deux murs et elles reposent sur ceux-ci par une portion mn de leur longueur qui varie entre 1/10 et 1/20 de la portée cette longueur mn ne doit cependant jamais

descendre au-dessous de 0m,20. Ainsi les solives sont encastrées dans les murs; mais lorsque l'on détermine leurs dimensions par le calcul, on les considère toujours comme simplement posées à leurs extrémités.

(b) Augets et entrevous. — Les solives étant posées, on cloue au-dessous d'elles un lattis de 0m,01 à0,n,015 d'épais-

Fig. 191

seur, puis après avoir planté dans la solive de grands clous nommés rappointis, on construit Vauget (fig. 192).

L'auget est une maçonnerie faite de plâtre et de plâtras bien blancs, placée entre les solives; il est limité à la partie inférieure par le lattis et à la partie supérieure par une surface courbe en forme d'auge; ce qui lui a valu son nom.

On nomme entrevous, l'espace compris entre les faces de deux solives consécutives. La largeur de l'entrevous ne doit

STAB. 10

PLANCHERS EN BOIS

A TRAVURES SIMPLES

guère descendre au-dessous de 0m,17 ou de 0m,20, sous peine de ne plus pouvoir exécuter facilement les augets; elle ne doit pas être supérieure à 0,40, sous peine de voir les rappointis être insuffisants pour maintenir les augets.

L'épaisseur minima de l'auget ne doit guère êt$e inférieure à 0m,04.

Au-dessous du lattis on exécute l'enduit du plafond ayant de 0m,015 à 0m,02 d'épaisseur.

(c) Lambourdes et bardeaux. — La partie du plancher qui est placée au-dessus des solives est constituée de la manière suivante : sur les solives et perpendiculairement à leur direction on place des lambourdes, pièces de bois de

Fig. 192

0m,08 sur 0m,056 d'équarrissage, posées à plat, à 0,30 de distance d'axe en axe et destinées à recevoir le parquet. L'intervalle entre les lambourdes est garni de petites pièces de bois clouées sur les solives et qu'on nomme bardeaux.

Au-dessus des bardeaux on exécute un enduit en plâtre d'environ 0,04 d'épaisseur relevé en solins sur les faces latérales des lambourdes.

(d) Parquet. — Enfin au-dessus des lambourdes, que l'on a soin de poser bien de niveau, on place le parquet formé de frises de sapin ou de chêne de 0m,027 à 0m,034 d'épaisseur, assemblées à rainures et languettes.

(e) Epaisseur totale d'un plancher en bois. — Les lambourdes (0,056), le parquet (0,027 ou 0,034), le lattis et l'enduit du plafond (0,030) donnent, ensemble, une épaisseur de 0,113 ou 0,120 qui sera la constante d'épaisseur et qui sera toujours la même ; la seule variable sera la hauteur b de la solive ; de sorte que l'épaisseur totale h du plancher sera :

' 0,113 h — b -h ) ou

219. Charges d'un plancher. — (a) Eléments de la charge totale. — Lorsqu'un plancher est construit suivant

un type déterminé le poids de ses différentes parties, sauf les solives, est constant par mètre carré, tandis que celui des solives augmente avec leur portée ; toutes ces charges réunies constituent ce qu'on appelle le poids propre ou poids mort du plancher. Mais on doit aussi considérer la charge utile, c'est-à-dire la surcharge qui variera avec la destination des locaux et qui proviendra du poids des meubles ou des personnes, s'il s'agit de maisons d'habitation, du poids des marchandises, s'il s'agit de magasins, d'entrepôts, de greniers, etc.

Le poids total d'un plancher s'obtiendra en additionnant le poids propre et la surcharge.

Il importerait de connaître, par avance, quels seront, à peu près, les poids propres dans les différents cas qui pourront se présenter, ainsi que la surcharge à adopter.

Or, on connaît la surcharge, puisque celle-ci est une conséquence de l'usage en vue duquel la construction est faite ; mais il n'en est pas de même du poids propre puisque, dans ce dernier poids, les solives entrent pour une part importante, et que celles-ci n'auront leur équarrissage connu qu'une fois terminé le calcul des résistances. Il semble donc que l'on soit dans ua cercle vicieux. Pour en sortir on remarquera que les éléments du poids propre sont :

1° Le garnissage (parquet, aire supérieure, augets et plafond), dont le poids est à très- peu près toujours le même (200k par mètre carré).

2° Le solivage, dont le poids variable avec la portée, est inconnu tout en étant, évidemment, une fonction de cette portée / et de la surcharge. A défaut d'une formule algébrique qui ferait connaître rigoureusement cette fonction, c'est-à-dire le poids du solivage, on admet que ce poids est proportionné à la portée l et qu'il est réglé par un coefficient, 81(, 12k, 17k (voir plus loin le tableau), qui dépend de l'importance de la surcharge. Ce n'est qu'une approximation grossière, mais cela permet de faire un premier calcul de résistance duquel on déduit des équarrissages de solives et, par suite, un poids pour le solivage. Si ce poids s'écarte très peu de celui que l'on avait admis pour commencer, on s'en tient là ; sinon on refait un nouveau calcul avec le poids de solivage qui vient d'être obtenu.

(b) Poids moyens pourunpremier calcul. — Nous avons réuni dans le tableau ci-dessous les nombres généralement adoptés pour ces différentes charges, nombres qui permettent d'établir les données d'un premier calcul ou avantprojet.

Néanmoins, pour un projet sérieux, on devra calculer directement la charge totale d'après la destination particulière de l'édifice.