DES FORGES

côtés de même ordre. Nous pourrons donc énoncer le théorème suivant (pie nous désignerons sous le nom de théorème des pivots.

Théorème des pivots. — Les pion/s correspondant à deux funiculaires distincts sont tous sur une même droite parai h lr à la ligne des pôles des dynamiq aes de ces funiculaires.

§ 3. — Décomposition des forces

28. Décomposition d'une force en deux autres. — Nous avons vu (v. n°s21, 22, 23) comment on peut trouver la résultante de plusieurs forces dont on connaît la grandeur et la position ; nous allons maintenant traiter le problème inverse, celui de la décomposition d'une force en plusieurs autres.

Considérons d'abord le cas où le nombre des forces cherchées est égal à deux.

Pour mettre en évidence l'utilité pratique de cette question, imaginons, par exemple, que l'on ait une ferme de comble AB soumise à un certain nombre de forces d'action verticales ou obliques telles que : la charge due à la neige, la pression du vent, etc., et proposons-nous de trouver les réactions X et Y dues aux appuis.

Nous savons, par les numéros précédents, comment on peut trouver la résultante des forces extérieures : soit F cette résultante. Nous n'avons donc qu'à considérer les trois forces X, Y et F et le problème revient à celui-ci :

Déterminer deux forces X et Y qui passent par les points A et B et qui fassent équilibre à la force F.

Dans la fig. 15 nous avons supposé qu'en A se trouve un chariot mobile sur lequel repose la ferme, tandis qu'en B cette ferme est fixée à un sabot d'amarrage. Il résulte de cette disposition que la réaction X est forcément verticale tandis que la réaction Y peut être quelconque.

Si X n'était pas donnée en direction le problème serait indéterminé.

Solution. — [a) Par un point C quelconque de la force F, menons deux droites CA et CB que nous considérerons comme le côté initial et comme le côté final d'un funiculaire à trois côtés, dont F serait la résultante et dont AB serait le côté intermédiaire.

[b) . Construisons le dynamique répondant au funiculaire que nous venons de nous donner : le côté mF' sera égal et parallèle à F et nous en aurons les rayons polaires, initial et final, en menant les lignes mO et F'O parallèles aux côtés AC et CB du funiculaire ; ces lignes se recouperont en 0. Le point 0 sera le pôle.

lèle à AB, enfin joignons F'n ; la longueur mn mesurera l'intensité de la force ou réaction X tandis que F'n donne la grandeur et la direction de la force ou réaction Y. (d). Pour connaître le sens des réactions, suivons sur le

Fig. 15

dynamique le contour du triangle mF'n dans le sens amorcé par la force F' et nous verrons que la première réaction agit dans le sens AX et l'autre dans le sens BY.

29. Cas où les forces sont verticales. — (a). Position de la question. — Très souvent les forces d'action sont verticales ainsi que les réactions : les choses se passent ainsi dans les poutres droites de ponts ou de planchers.

Soit (fig. 16) une poutre de pont supportant, en dehors de son poids propre, des charges verticales flf f,, f3, /'., /,, inégales et inégalement réparties ; cette poutre repose sur

STAB. 2

•III

COMPOSITION ET DÉCOMPOSITION GRAPHIQUE DES FORCES

les piles en M et en N par l'intermédiaire de rouleaux de dilatation ; ce qui implique que les appuis M et N ne peuvent exercer que des réactions verticales. On demande de trouver les réactions des appuis, sans tenir compte du poids propre de la poutre.

Nous connaissons déjà la direction de ces réactions, c'est

Fig. 16 Fig. 16 bis

la verticale, à cause des rouleaux de dilatation ; pour en trouver les grandeurs nous composerons d'abord toutes les charges, afin de n'avoir à considérer que leur résultante ; nous décomposerons alors celle-ci en deux forces appliquées en M et en N, ces deux composantes de la force F étant égales et directement opposées aux réactions X et Y.

(b) Solution (fig. 1G bis). — 1° Construisons le dynamique des forces d'action et, prenant le point 0 comme pôle, menons les rayons polaires r[, r'2, r'3, r',, r'3) r'G.

2° Construisons un funiculaire répondant à ce dynamique; l'intersection du côté initial r, et du côté final rCi, du funiculaire ainsi obtenu, donnera un point de la résultante d'action dont la grandeur, la direction et le sens sont déterminés sur le dynamique.

3° Prolongeons le côté initial et le côté final du funiculaire jusqu'à leur intersection en M et N' avec les lignes d'action des réactions X et Y.

4° Joignons MN' par une droite que nous nommerons la ligne de fermeture du funiculaire ; puis par le pôle du dynamique menons Oy' parallèle à MN'; la force X sera mesurée par y'x' et la force Y par y'f6'-

Quant au sens de ces réactions, la première sera dirigée suivant MX et la deuxième suivant NY.

30. Remarque. — Dans cette application, la ligne de fermeture MN' est oblique par rapport à la droite MN qui joint les points d'appui, et que l'on nomme la droite d'appui. Il peut y avoir intérêt à faire coïncider ces deux droites ; il suffit pour cela de changer le pôle, en prenant pour nouveau pôle un point 0' situé à la fois sur une parallèle, y'O', à la ligne d'appui menée par rj et sur la vertical de l'an-

cien pôle. Cette construction, indépendamment de l'avantage qu'elle présente de donner comme ligne de fermeture du funiculaire la ligne d'appui, permet de conserver la distance > polaire (1) qu'on s'est fixée, ce qui a son importance, ainsi que nous le verrons plus loin (v. n° 34 et n° 27).

31. Décomposition d'une force en trois autres. — Nous aurons quelquefois à déterminer trois forces faisant équilibre à une force unique ; ce problème se présentera notamment dans l'étude des fermes du système Polonceau.

Prenons, par exemple, une ferme de ce système à trois bielles disposées comme l'indique la fig. 17.

Lorsqu'on cherchera les tensions (compressions ou tractions) dans les barres de cette ferme, on verra que pour certains

Fig. 17

nœuds (2) il y a indétermination. Pour la lever on peut employer la méthode suivante recommandée par M. Culmann:

On fait une section de la ferme par une surface qui ne rencontre pas plus de trois barres (ce nombre trois est indispensable), on prend la résultante de toutes les forces situées d'un côté de la section, et on équilibre cette résultante par trois forces ayant pour lignes d'action les trois barres coupées par la surface. Il ne faut pas que les barres aboutissent à un même point.

Dans la fig. 17, la surface de section est un plan qui rencontre l'arbalétrier AB, le tendeur BE et le tirant DD' de la ferme aux points a, b, c.

32. Application à une ferme Polonceau. — Soit F (fig. 18) la force qu'il s'agit d'équilibrer par trois autres dont les lignes d'action sont A, B et C.

(a). Prolongeons la force F jusqu'à sa rencontre avec l'une des trois lignes données, A par exemple (graphiquement il y aura généralement au moins une des trois lignes qui rencontrera la force F dans les limites de l'épure) (3).

(1) La distance polaire est la distance a laquelle le pôle se trouve de la résultante du dynamique. Cotte distance joue un rôle important eu statique graphique, ainsi que nous le verrons par la suite.

(2) Les nœuds sont les points tels que D-, E . . . où se rencontrent les barres.

(3) A l'occasion de la ferme Polonceau nous indiquerons la solution à adopter pour le cas où la force F, à décomposer, serait en dehors des limites de l'épure.