CHAPITRE II

COMPOSITION ET DÉCOMPOSITION GRAPHIQUE DES FORCES SITUÉES DANS UN MÊME PLAN

% 1. — Forges dont on ne veut pas chercher les points de rencontre

18. Composition de deux forces concourantes. — Soit à composer les forces f et f (fig. 10). Lorsque le point de concours est accessible, la composition des deux forces s'effectue ainsi que nous l'avons indiqué (n° 7).

.Mais si le point de concours est inaccessible, s'il est en dehors des limites de notre épure, nous emploierons des tracés dont voici le principe :

1° Nous chercherons la résultante en direction et en grandeur.

2° Nous introduirons des forces fictives qui seront deux à deux égales et opposées et qui, tout en donnant un système équivalent aux premières, car elles se déduiront deux à deux, nous permettront de ramener les constructions dans les limites de l'épure.

3° Nous chercherons la résultante, en position, en déterminant un seul de ses points, ce qui nous suffira, puisque nous l'aurons déjà en grandeur et direction.

19. Direction et grandeur de la résultante. — Construisons d'abord (flg. 10 bis) le triangle dynamique des forces f et f. Pour cela, à partir d'un point quelconque A menons la droite AB égale et parallèle à f puis, du point B qui est son extrémité, la droite BG égale et parallèle à f ; joignons AC et nous aurons ainsi une parallèle à la résultante des forces f et f, cette résultante R, étant mesurée par la longueur AC.

20. Position de la résultante. — Il suffira maintenant de trouver un point de cette résultante pour l'avoir en position.

A cet effet : Prenons à côté du dynamique un point quelconque 0 que nous nommerons un pôle et menons par ce point les trois rayons polaires : OA, OB et OC aboutissant aux sommets du dynamique. Désignons par r\ et r'[ ces rayons polaires (1).

Nous formons ainsi trois nouveaux triangles ayant pour sommet le point 0 et pour base les forces /',, ft' et R,.

(1) Les forces AB, BC du dynamique se Dominent aussi des vecteurs.

Les rayons polaires tels que OA = r, et OC = r\ qui aboutissent aux deux extrémités de la résultante R, se nommeront l'un, le rayon polaire initial (r,) et l'autre, le rayon polaire final {r\ .

Cela posé, nous allons d'abord énoncer la règle pour ob-

Fig. 10 Fig. iû bis

tenir un point P de la résultante (fig. 10) ; nous la démontrerons ensuite.

21. Règle dite : du funiculaire. — 1» On mène, n'importe où, une parallèle ED au rayon polaire initial : c'est le côté initial du funiculaire (fig. 10).

2° Par le point D où ce côté rencontre la première force, on mène une parallèle DH au deuxième rayon rj du dynamique : c'est le deuxième côté du funiculaire.

3° Par le point H où ce côté rencontre la deuxième force, on mène une parallèle HG, au rayon final r[ : c'est le côté final du funiculaire ; cela fait : on prolonge jusqu'à leur rencontre en P, le côté initial et le côté final du funiculaire. Ce point P appartient à la résultante R, qu'il ne reste plus qu'à tracer en la menant parallèle à la résultante R, du dynamique.

COMPOSITION ET DECOMPOSITION GRAPHIQUE DES FORCES

2i6is. Démonstration. — Pour justifier ce tracé, commençons par rappeler : 1° que les côtés de tout triangle et plus généralement, de tout polygone fermé tels que OABO, parcouru dans un même sens en revenant au point de départ 0, représentent en grandeur et direction des forces qui, si on les appliquait à un même point, s'y feraient équilibre ; 2° que l'on ne détruit pas l'état statique d'un solide en lui appliquant autant de fois que l'on voudra deux forces égales et directement opposées.

Cela posé : sur le dynamique, parcourons le triangle partiel ABO dans le sens amorcé par la force ft. Ses trois côtés /',, r\ et r, représentent trois forces susceptibles de s'équilibrer; de ces trois forces, une d'elles, la force /",, est donnée ; les deux autres r\ et r, sont des forces fictives. l\ en sera de même du triangle partiel BCO si nous le parcourons dans le sens amorcé par la force /",' et du triangle total CAO si nous le parcourons dans le sens amorcé par l'équilibrante — R,.

Remarquons que lorsque nous parcourons le deuxième triangle partiel BCO dans le sens amorcé par la force //, nous parcourons une seconde fois la force fictive r[ mais précisément dans le sens inverse de celui où elle avait été parcourue sur le premier triangle partiel, et, de même, dans le triangle total CAO, les forces Actives i\ et r\ sont parcourues en sens inverse de celui où elles l'avaient été sur les deux triangles partiels. Cela posé :

1° Au point D (flg. 10) appliquons de D vers E une force fictive ( + »') égale à r, du dynamique et dans le sens parcouru sur le premier triangle partiel du dynamique. Mais, pour ne rien changer à l'état statique du solide, appliquons en P la même force — r, mais en sens contraire.

2° A ce même point D, appliquons de D vers H une force fictive égale à r[ du dynamique, parcouru dans

le sens amorcé par fi sur ce même triangle partiel, mais, pour ne rien changer encore à l'état statique, appliquons en II une force fictive ( — r') égale et contraire à la précédente.

3° Au point II appliquons de H vers G, une force fictive H- r" égale à r'[ du dynamique dans le sens amorcé par /'/ sur le deuxième triangle partiel, et sur son prolongement, en P, pour ne pas modifier l'état statique du solide, appliquons une force r" égale et contraire à la précédente.

4° Enfin, au point P appliquons en PV une force — R égale à l'équilibrante — R, du dynamique.

Je dis que — R est l'équilibrante du système des deux forces /' et f .

En effet : Le point D est en équilibre sous l'influence des trois forces qui lui sont appliquées, savoir : la force réelle / et les deux forces fictives + r et + puisque, sur le dynamique, à ces trois forces répond le premier triangle

partiel ABO, parcouru dans le sens de f. Il en est de môme pour le point H, sous l'influence de la force réelle f et des deux forces fictives — r' et +r"; et aussi de même pour le point P, sous l'influence des forces — R, — r" et

Les trois points D, H et P étant séparément en équilibre, il en est de même de tout le système des neuf forces. (Ces neuf forces sont les trois forces réelles /', f et — R, et les six forces fictives.)

Mais les six forces fictives s'équilibrent deux à deux, savoir: + r avec — r, -h r' avec — r' et +r" avec

— r". Donc les trois forces f, f et — R s'équilibrent; par suite, — R est l'équilibrante des deux forces /'et f, et par conséquent son opposée 4- R est la résultante, C. Q. F. D.

Remarque. — La droite R irait passer par le point de rencontre inaccessible des deux forces f et f.

22 Polygone funiculaire. — Le contour polygonal ED1IG que nous venons de construire ainsi se nomme un polygone funiculaire ou, plus simplement, un funiculaire.

On voit que ses côtés sont respectivement parallèles aux rayons polaires du dynamique.

La rencontre P du côté initial, ED, et du côté final, HG , donne un point P de la résultante. On voit qu'au début de l'épure le côté initial est. en quelque sorte tracé en attente ; l'épure n'est terminée qu'une fois le coté final tracé. Vu leur importance, nous conseillons de marquer par une croix les côtés et les rayons polaires initiaux et finaux, afin de bien les reconnaître. 1

Généralisons cette construction au cas d'un nombre quelconque de forces, toutes situées dans un même plan.

23, Composition d'un nombre quelconque de forces

(fig. H et 11 bis). — Soient /", f, fs fk (iig. 11) les forces qu'il s'agit de composer.

(a) Construisons en f/ f2' f:)' f,J (fig. 11 bis) à partir d'un point quelconque m le dynamique des forces. La droite fi'm, qui le complète, est l'équilibrante. Désignons-la par la lettre — R' tandis que la résultante serait -+- R' égale et directement opposée.

(b) Choisissons en 0 un pôle quelconque et menons les rayons polaires r[, r'2, r£, r[, r'6.

r\ est le rayon initial, r[ est le rayon final ; on les reconnaît à ce qu'ils aboutissent aux extrémités de l'équilibrante

— R'. Nous les marquons d'une croix. Cela posé :

(c) Règle du funiculaire. — 1° N'importe où, (fig. 11) nous traçons une droite NAP parallèle au rayon initial r\ du dynamique ; c'est le côté initial du funiculaire; il est en attente et nous le marquons d'une croix.

2° Par le point A où ce côté initial rencontre la première force fl nous menons une droite AB, parallèle au

FORCES DONT ON N K \ KIT PAS CIlKliCIIKI! LLS POINTS M: ULNCONTIiK

deuxième rayon polaire r'., du dynamique ; c'est le deuxième côté du funiculaire.

3° Par le point R où ce côté rencontre la deuxième force, f2, nous menons I3C parallèle au troisième rayon polaire Va du dynamique; c'est le troisième côté du funiculaire.

4° Par le point G où il rencontre la troisième force, /!,, nous menons CD parallèle au quatrième rayon r\, et ainsi de suite... Enfin :

5° Par le point D où l'avant-dernier (ici le quatrième) côté

Fig. Il Fig. 1 1 bis

du funiculaire rencontre la dernière (ici la quatrième) force, nous menons une parallèle DP au rayon final du dynamique. C'est le côté final du funiculaire ; nous le marquons d'une croix; nous le prolongeons, si cela est nécessaire, et nous prenons en P sa rencontre avec le côté initial.

La résultante 4-R (ou l'équilibrante — H) passe par le point P; nous la traçons, si cela est utile, en la dessinant égale et parallèle à la résultante R' du dynamique.

Nota. — La justification de cette règle se fera exactement comme celle de la règle donnée plus haut (n° 21 bis) pour deux forces.

23 bis. Remarque pratique. — Cette construction du funiculaire est la base de toute la statique graphique ; c'est pourquoi nous engageons le lecteur à exécuter, dès maintenant, un certain nombre d'épurés du genre de celle des fig. 11 et 11 bis. Il reconnaîtra qu'il est assez facile de se perdre dans les côtés du funiculaire. Voici une remarque de nature à lui faire éviter les erreurs.

« A tout rayon du dynamique qui aboutit à l'intersection

de deux forces répond, sur le funiculaire, le côté qui jonclionne les deux forces correspondantes. »

Ex. : Sur le dynamique, le troisième rayon r'3 aboutit au croisement des forces f2' et /".,'; sur le funiculaire le troisième côté, RC, qui lui est parallèle, jonctionne les forces f* et U

Cela est vrai aussi pour la résultante.

Ex. : Sur le dynamique le rayon initial r[ aboutit au croisement m de la résultante R' et de la première force /",'; sur le funiculaire le côté correspondant AP jonctionne la première force f, et la résultante M.

2 i. Résultantes partielles. — Si nous voulions avoir La résultante des deux premières forces /', et f2 nous l'aurions en grandeur et en direction sur le dynamique ; cette résultante y serait représentée par la droite mf,'; et sur le funiculaire l'intersection du côté initial avec le prolongement du côté RC nous donnerait un point a de cette résultante partielle.

En effet, pour les deux premières forces /', et f,, la ligne NP joue le rôle de côté initial, et la ligne RC celui de côté final ; par conséquent leur intersection a est un point de leur résultante. Cette dernière sera aa', égale et parallèle à mf2' du dynamique. De même, pour les trois premières forces, le point p, où le quatrième côté CD du funiculaire rencontre le côté initial NP, est un point de leur résultante, et cette dernière sera (33', égale et parallèle à la résultante partielle mf.,' du dynamique.

25. Composition des forces parallèles. — Lorsque les forces sont parallèles le polygone dynamique est réduit à une droite sur laquelle les forces sont placées bout à bout. Soit (fig. 12) à composer les forces parallèles ft, f2, f3, fA.

Fig. 12 Fi,'. 12 bis

Plaçons ces forces bout à bout sur la ligne tnn (fig. 12 bis), en observant le sens de leur action.

Sur l'épure les forces ft, /', et /'. sont dirigées de haut en

COMPOSITION ET DÉCOMPOSITION GRAPHIQUE DES FORCES

bas, la force f3 est dirigée de bas en haut ; alors il faut lire comme suit, le dynamique : mflfîfsfl; de f2' à f3' on remonte. La résultante est parallèle aux forces données et sa grandeur est mesurée par mfJ.

Prenons un pôle 0 et menons les rayons polaires r2. r3i ?'v, puis, choisissant un point quelconque A sur la force /",, menons par ce point une droite AB paral-

lèle à r\ ; et une autre AB parallèle à r\ ; menons successivement BC, CD, DE parallèles respectivement à r1^ r[, r'&, et le point E, intersection du côté initial AE et du côté final DE du funiculaire sera un point de la résultante.

On voit toute l'analogie que présente cette figure avec la précédente.

* § 2. — Changement de tôle

26. Position de la question. — Dans le courant d'une opération on peut avoir à changer de pôle. Le dynamique ne changera pas, mais ses rayons polaires seront modifiés et il en sera de même des côtés du polygone funiculaire.

Il est évident que les résultantes partielles, qui dépendent uniquement de la grandeur et de la position des forces, sont indépendantes du choix fait pour le pôle ; donc, quel que soit ce pôle, les côtés du funiculaire se recouperont toujours sur les mêmes droites, car ces droites sont les résultantes partielles.

27. Théorème des pivots. — Nous allons, déplus, montrer que si l'on considère (fig. 13) deux polygones funiculaires répondant à deux pôles 0' et 0" (fig. 14), les côtés de même ordre de ces funiculaires se recoupent en des points qui sont tous sur une ligne droite parallèle à la ligne qui joint les pôles 0' et 0".

Raisonnons pour une seule force /",, quelconque d'ailleurs, du solide (fig. 13).

Soit mn — /',' (fig. 14) la force correspondante du dy-

Fig. 13 Fig. 14

namique et soient 0' le premier pôle, 0" le second, les rayons polaires étant r\ et K dans le premier dynamique et ru r\ dans le second.

Si par un point quelconque A, de la force /, (fig. 13) nous' menons des parallèles aux rayons polaires r\ et nous obtiendrons en IA, le premier côté (initial) du funiculaire répondant au pôle 0' et en A,B le deuxième côté de ce même funiculaire.

De même en menant par un point A2 de la force ft, une

parallèle aux rayons polaires r\ et r\, répondant au deuxième pôle 0", nous aurons en IA2 le premier côté (initial) du funiculaire répondant au pôle 0" et en A,C le deuxième côté de ce même funiculaire.

Il s'agit de démontrer que la droite IJ qui joint les intersections des premiers et des seconds côtés des funiculaires est parallèle à la ligne des pôles O'O".

Pour le prouver interprétons mécaniquement chacune des figures 13 et 14 (1).

Au point A, imaginons trois forces, savoir : la force donnée ft et deux forces fictives A , I et A(B données en grandeur et direction sur le premier dynamique O'mn en le parcourant dans le sens amorcé par /',. La force -4-/, est la résultante de ces deux forces fictives n° 1' et n° 2' du premier funiculaire.

De même au point A, imaginons trois forces, savoir : la force donnée f\ mais changée de sens (nous la désignerons par — ft) et deux forces fictives A2I et A2C données en grandeur et direction sur le deuxième dynamique 0"mn en le parcourant dans le sens amorcé par la force — /",'. La force — fl est, elle aussi, la résultante des deux forces fictives n° 1" et n° 2" du deuxième funiculaire.

Mais -h/", et — ft se font équilibre ; donc il en est de même de leurs composantes, quelle que soitla manière dont on les combine. Or combinons n° V avec n° 1", leur résultante est donnée (fig. 14), en grandeur et direction, par la droite O'O". Comme position elle passe en I ; combinons n° 2' avec n° 2", leur résultante est donnée, en grandeur et direction, par 0"0' et elle passe par le point J ; et comme il y a équilibre, il faut que ces résultantes soient directementopposées ; donc IJ est parallèle à O'O". C.Q.F.D.

Ce que nous venons de démontrer pour deux côtés consécutifs de deux funiculaires, nous allons l'étendre à tous les autres côtés.

Je dis, pour cela, que si le théorème est vrai pour deux côtés consécutifs, il l'est pour tousles autres, successivement. En effet, après les côtés n° 1 et n° 2, prenons les côtés

(1) Nous aurions pu donner une démonstration purement géométrique.

* Ce signe indique un parayraplte ou un alinéa qui peut être passé en première lecture

DECOMPOSITION

n° 3. Ils se recouperont en un point K (non figuré sur l'épure) ; la ligne KJ sera parallèle à la ligne des pôles et par conséquent confondue avec Jl ; de même pour les côtés n° i. .. et ainsi de suite pour tous les côtés de même ordre. G. Q. P. D.

Nous appellerons pivots ces points d'intersection de deux