I - fi
Mais I: o est aussi proportionnel aux moments fléchissants, lesquels sont proportionnels aux carrés x2 des abscisses. Si l'on désigne par K le coefficient de proportionnalité on doit donc avoir
On voit donc, par là, que z doit être simplement proportionnel à x ; en d'autres termes, le profil en élévation est limité par des droites (fig. 240). Les dimensions à l'encastrement se déterminent, dans tous les cas, en appliquant la formule d'équarrissage.
[b) Application numérique. — Calculer les dimensions d'un corbeau d'égale résistance en fonte à section rectangulaire connaissant: 1° sa largeur constante, a = 0,05;
(II
Fig. 240
2° sa longueur d'encorbellement, 1 = 0,45, et 3° la charge totale, uniformément répartie P = 12 000k (fig. 240-11).
Dans ces conditions, on a pour moment d'encastrement (v. n° 209-a)
„ PZ 12000X0,45 n„nnh
M = — = ' = 2700km.
d'où
On a aussi
d'où, en adoptant R = 5 000000",
2700 az2 5 000000 ~~ ~6 ~
d'où
el
200 FIGURES SOLIDES, D'ÉGALE RÉSISTANCE
Poutres d'égale résistance
267. Poutre posée sur deux appuis de niveau et chargée d'un poids unique en son milieu. — La représentative des moments de charge est formée de deux droites BA et AC (v. n° 201-a).
Prenons pour origine l'une des extrémités de la poutre. En raisonnant comme précédemment, on arrivera aux conclusions suivantes :
1er Cas. La hauteur b est constante, — alors la largeur a doit être proportionnelle au moment fléchissant et le profil de la poutre devra affecter, en plan, la forme d'un losange
il— ^
Fig. 241
fflg. 241-11). On devra ménager aux deux extrémités des portées suffisantes pour résister à l'effort tranchant qui est égal à la moitié du poids total.
2e Cas. La largeur a est constante. — Nous avons vu (nft264) que dans ce cas, c'est-à-dire pour les solides de la 2e classe, les hauteurs du profil devaient être proportionnelles à \/M ; or M étant, d'après la fig. 241-1, proportionnel à l'abscisse x, si z est la hauteur de profil répondant à l'abscisse x on devra avoir
s = K \lx
ou
K est ici un coefficient de proportionnalité que les données numériques du problème permettraient de calculer.
En élévation, le profil affectera donc la forme de deux paraboles (fig. 241 -III), ayant pour axe commun AO, l'axe horizontal de la pièce et pour tangentes au sommet les ver-
ticales des appuis. Au milieu de la portée, en B'B', ces paraboles se rencontrent, mais ne se raccordent pas. Enfin, il faut aux extrémités A et 0 ménager des portées à section constante pour résister aux efforts tranchants.
268. Poutre posée sur deux appuis et uniformément chargée. — (a) Théorie. — La représentative des moments fléchissants est une parabole AOB (fig. 242-1) dont l'axe est vertical ; nous prendrons comme origine des coordonnées le point o, milieu de la poutre.
1er Cas. La hauteur b est constante. — En plan (fig. II), les largeurs y doivent être proportionnelles aux moments fléchissants ; on voit donc que ce profil, en plan, sera formé de deux paraboles A'C'B' et A'D'B' ayant leur axe perpendiculaire à celui de la pièce et se rencontrant sur cet axe.
(Moments)
Fig. 242
Il faudra ménager ici des portées aux deux extrémités pour résister à l'effort tranchant qui est maximum au-dessus des appuis. Comme les efforts tranchants diminuent à mesure qu'on se rapproche du milieu 0 et que la représentative de ces efforts tranchants est une droite passant par l'origine, c'est-à-dire par le centre 0 (v. n° 204-6), les portées devront affecter la forme d'une queue d'hironde O'nm — O'n'm' dont les côtés prolongés passeraient par le centre 0' de la pièce.
2° Cas. La largeur a est constante. — En élévation, les hauteurs s du profil doivent être proportionnelles aux ra-
POUTRES D'ÉGALE RÉSISTANCE
cines carrées des ordonnées telles que Mm (243-1) de la parabole des moments fléchissants.
Soit h la hauteur maxima de cette parabole, que nous supposerons rapportée à sa tangente au sommet Om', prise pour axe des abscisses, on aura :
Mm = t^œ2,
K étant un coefficient dont nous ne précisons pas actuelle-
( Moments/)
Fig. 243
ment la valeur. De cette valeur de Mm' on déduit Mm = h
ar K
Prenons (fig. II) le point du profil de la poutre situé au droit de M; soit z son ordonnée; on doit avoir
;2 = K'XMm = K'(A — Mm7), K' étant un autre coefficient. Nous pouvons encore écrire
Cette équation donne la relation qui lie z et x pour chaque point du profil; c'est donc l'équation de ce profil. En développant l'équation (2) elle devient
a?2 z'2 Kh^KTi = '
C'est l'équation d'une ellipse dont les axes sont OX et OZ.
La dimension BB' du petit axe s'obtiendra en écrivant l'équation d'équarrissage pour la section milieu.
Quant aux portées des extrémités elles auront la forme d'une queue d'hironde, pour les mêmes raisons que cidessus.
(b) Application numérique. — Une poutre d'égale résistance en fonte, de 3m,00 de longueur, à section rectangulaire d'épaisseur constante a = 0m,08, doit supporter une
charge totale P = 6000k uniformément répartie. Calculer les dimensions du petit axe de l'ellipse qui limite, en élévation, le profil de la pièce, ainsi que les hauteurs des portées au-dessus des appuis.
On a pour le moment maximum :
On a également, puisque a = 0,08,
M ab- z3 X0,08
d'où, en appelant z0 la hauteur du petit axe, 2250X6
Pour la portée, calculée en vue de l'effort tranchant, on doit avoir, en désignant par zi la hauteur de la portée,
zt X a X S = |.
d'où en remplaçant a par 0,08, S (résistance de sécurité au cisaillement), par 4000000k et P par 6000k,
