CORBEAUX D'EGALE RÉSISTANCE
Dans tout rectangle de base a et de hauteur b on a I atf v 6
ce qui exprime que le moment de résistance I : v doit être proportionnel à la base a et au carré de la hauteur 62; or, comme d'après l'équation d'équarrissage, I : v est proportionnel à M, moment fléchissant, on voit que les dimensions a et b du profil rectangulaire doivent varier de telle sorte que a soit proportionnel à M pour les solides de la 1™ classe, b soit proportionnel à \/M pour les solides de la 2e classe- De plus si a sert de module à b :
a sera proportionnel à \/M pour les solides de la 3" classe ; il en sera de même pour b.
263. — Corbeau chargé d'un poids unique appliqué à son extrémité. — (a) Théorie. — Nous avons vu (voir n° 298) que dans ce cas la représentative des moments fléchissants est une droite telle que AB (flg. 235-1). Comme le solide peut appartenir à l'une des 3 classes désignées cidessus, nous allons étudier ces trois cas successivement.
1er Cas. La hauteur b est constante. — Alors la largeur a doit être proportionnelle à M, c'est-à-dire aux ordonnées d'une droite ; la figure, en plan, du corbeau sera donc un triangle tel que XBC ou C^CJ (fig. 235-11), les bases Ci^ et XC de ces deux triangles étant égales.
cl--"'"
Fig. 235
La grandeur de ces bases sera déterminée par cette condition que la valeur du moment fléchissant maximum, introduite dans l'équation d'équarrissage, devra donner pour effort unitaire de la fibre la plus fatiguée de la section XX la limite qu'on s'est assignée d'avance; ordinairement celte limite est prise égale à la résistance de sécurité.
Dans un pareil solide l'effort tranchant est constant et
égal à la charge P; or, si l'on terminait le corbeau en biseau, la surface de la section transversale serait nulle à l'extrémité B et la section serait cisaillée par l'effort tran-
Fig. 236
chant. Il faut donc lui donner une largeur suffisante jusqu'à une certaine distance du sommet ; cette largeur doit être telle que l'effort tranchant unitaire ne dépasse pas la résistance de sécurité au cisaillement (fig. 236).
2° Cas. La largeur est constante. — Dans ce cas, les hauteurs Z du proûl doivent être proportionnelles à <JM. On aura donc, à un coefficient de proportionnalité près, en appelant x l'abscisse d'une section EF (fig. 237-11) abscisse comptée à partir de l'extrémité B, et remarquant que le moment fléchissant est proportionnel à cette abscisse (fig. I)
z = JKx, d'où
Cette équation entre x et z représente une parabole du second degré (fig. II), ayant pour axe l'axe des x et pour
tangente au sommet la verticale BZ menée à l'extrémité B du corbeau.
On devra aussi, en vue de l'effort tranchant, ménager une
FIGURES SOLIDES, D'ÉGALE RÉSISTANCE
portée S (fig. perspective 238-1) comme dans l'exemple précédent.
Enfin, au lieu d'une demi-parabole, on pourra (fig. 238-11) répartir les hauteurs sur deux paraboles de hauteurs moitié
Fig. 23S
moindres de telle sorte qu'en chaque point du corbeau la hauteur soit la même que précédemment.
[b) Application numérique. — Déterminer les dimensions à donner à un corbeau d'égale résistance, en fonte, destiné à supporter un poids unique de 5000k appliqué à son extrémité, distante du point d'encastrement de 0m,75. On adoptera pour résistance de sécurité de la fonte à la flexion R = 5 000 000, et au cisaillement S = 4 000 000.
1er Cas. La hauteur b est constante et égale à 0m,18. — On a pour moment fléchissant maximum
M = 5000X0.75 = 3 750km.
Par conséquent, la formule d'équarrissage M I R ~ v
devient
3 750 ab2 5 000000" "6~
ou en appelant y0 la largeur de la pièce au point d'encastrement
3750 yQ X ÔTÏ82
d'où
Soit maintenant yv la largeur de la portée d'extrémité destinée à résister à l'effort tranchant, on aura
?/, X0,18XS = 5000",
d'où
Ainsi, dans ce cas, la largeur de la pièce au point d'encastrement devra être 0m,138 et la largeur de la portée à l'extrémité 0m,007.
La forme du solide sera celle de la fig. 236.
2e Cas. La largeur est constante et égale à 0m,0ô.
En
élévation le profil sera une parabole. Soit :r0 la hauteur de la pièce au point d'encastrement ; la formule d'équarrissage
nous donno
d'où
ab2
et z0 = s/QfÏÏ = 0,30.
Cette hauteur suffit pour déterminer la parabole. Soit maintenant zi la hauteur de la portée d'extrémité; on aura
d'où
;iXflXS= 5000k
1 «XS 0,05X4000 000 La pièce affectera la forme des figures 238, I ou IL
Nota. — On reconnaît dans cette forme parabolique du corbeau d'égale résistance le profil connu sous le nom de quart de rond, si employé par les architectes pour les échines des chapiteaux d'ordre dorique et, plus généralement, pour toutes les moulures de force ; on entend par là celles qui ont pour fonction de supporter des charges à leur extrémité.
26<ï. Corbeau supportant une charge uniformément répartie. — (a) Théorie. — Dans ce cas la représentative des moments est une parabole dont l'axe est vertical et passe par l'extrémité de la pièce (fig. 239-1). Les moments M sont alors proportionnels aux carrés x2 des abscisses ; ces dernières étant encore ici comptées à partir de l'extrémité.
Ie'' Cas. La hauteur est constante. — Les largeurs du profil, en plan, devant être proportionnelles aux moments fléchissants, ce profil sera limité par une parabole oA tangente en O à l'axe de la pièce (fig. 239-11). On fera mieux de subs-
CORBEAUX D'ÉOALE RÉSISTANCE
tituer au profil ainsi obtenu un profil A'OA', symétrique par rapport à l'axe de la pièce, profil limité par des paraboles dont les distances, telles que f'g', sont en chaque point
Fig. 239
égales aux ordonnées, telles que fg, de la parabole primitive oA. La figure 230-III montre ce corbeau en perspective.
Nous ferons enfin remarquer qu'une portée d'extrémité n'est plus nécessaire ici, car, à l'extrémité, l'effort tranchant est nul.
2° Cas. La largeur est constante. — Dans ce cas, le moment de résistance I:w est proportionnel au carré z- de la hauteur, car on a
