Cas usuels des poutres continues

296. Poutres, de niveau, à travées égales, uniformément chargées. — Traitons, à titre d'exemple, le cas d'une poutre à cinq travées ; à cause de la symétrie, nous pouvons ne nous occuper que de la moitié de la poutre (fig. 279) ; nous n'avons donc représenté que trois appuis et deux travées et demie.

(a) Travées indépendantes. — La distance polaire adoptée est d = 1/2/, comme pour le funiculaire Collignon ; on sait que, dans ce eas, l'ordonnée maxima o^iii des paraboles qui, en supposant les travées indépendantes, représenteraient les moments dus à la charge uniforme P, doit être prise égale à 1/4 P, mesuré à l'échelle des forces. Ces paraboles sont représentées en pointillé, ainsi que les représentatives des efforts tranchants correspondants, lesquelles sont les droites xux' , — xi.x'2 — x2x's qui détachent, toutes, sur les verticales d'appui des segments égaux à la moitié, 1/2 P, de la charge de chaque travée.

Solidarisons les travées et cherchons comment seront modifiés les moments et les efforts tranchants.

(b) Moments sur piles. — On les calculera à l'aide de l'équation de Bertot et Clapeyron (v. n° 295, form. B). Elle s'écrit en y faisant

La poutre étant libre sur les culées, on aura M0 = 0, et MG — 0. De plus, à cause de la symétrie, on aura : M, = M; et M, = M3; de sorte que les seules inconnues à calculer sont les moments Mi et M2.

Dès lors, écrivons l'équation C pour l'appui A,; on y fera M = 0, M' = Mi et M" — M, : elle deviendra

(1) 4Mi + Mî = -^-

Ecrivons l'équation (C) pour l'appui A2 ; on y fera

M = Mi M' = M2 et M" = M3 et puisque M, = M2 ,

on fera M" = M2 ; elle deviendra donc :

(2) Ml4-5M2 = -|'.

En résolvant les équations (1) et (2) on obtient :

Mi = ■ — — Pl avec Mt = M, , \ 3S

M2 = — — P/ avec M, == M3 .

(c) Moments définitifs. — On porte, négativement (fig. 279), de Ai en M,, de A2 en M2, etc.. les moments sur piles qui viennent d'être calculés; cela permet de tracer en A0, M,, M2 le polygone des moments de correction. Il

Fis. 279

ne reste plus qu'à descendre les paraboles primitives en les ajoutant analytiquement aux droites A0M, — MiM2.... etc. de ce polygone. Les aires de moments sont indiquées par des hachures; celles-ci sont pleines pour les moments positifs et pointillées pour les moments négatifs.

(d) Efforts tranchants et réaction des appuis. — Dans la première travée, la pente de la représentative de correction A0Mi est négative; elle a pour expression Mj : / ; c'est-àdire, en donnant à Mi sa valeur tirée des formules (3), et en désignant cette pente par &',

POUTRE CONTINUE

La représentative primitive, a?0a?i', de l'effort tranchant, doit donc être descendue en X0X', de toute cette quantité s'.

Nota. — Avec le tracé Collignon, nous avons vu(v. n° 47) que e' était précisément égal au segment Oi^j intercepté sur la verticale milieu par la ligne de correction A0Mj.

La réaction X0 de la culée, qui était, tout d'abord, égale à 1/2 P est réduite de la quantité s' ; on a donc finalement :

CHARGES PERMANENTES en X[X'2, de toute la quantité z", ce qui donne

et

Dans la 2e travée la pente de la ligne de correction MiM, est positive et elle a pour expression (M, — M2) : /, c'està-dire en donnant à M, et à M2 leurs valeurs tirées des formules (3) et en désignant cette pente par z",

Il faut donc remonter la représentative primitive x^x\

La réaction de la pile A est (v. n° 290-e) égale à la différence algébrique entre les efforts tranchants arrière et avant de cette pile ; on aura donc, pour cette réaction X,, 20 + 23

D'une manière générale, sur l'épure, la réaction d'un appui s'obtient en mesurant, à l'échelle des forces, la distance X',X, qui sépare le point d'arrivée de la représentative des efforts tranchants de gauche et le point de départ de celle de droite. On pourrait calculer directement les réactions en appliquant la formule (2) du n° 290-e.

297. Tableau résumé. — Le tableau ci-dessous donne les réactions et les moments sur piles pour des poutres à travées égales, uniformément chargées et posées sur appuis en ligne droite. Il s'étend jusqu'à 9 travées, c'est-à-dire jusqu'à 10 appuis.