Poutre en double potence uniformément chargée

— On nomme ainsi une poutre reposant sur deux appuis avec encorbellements égaux de chaque côté des appuis (flg. 280-1).

(a) Moments fléchissants. — Soieut L la longueur totale de la poutre ; / la distance entre les appuis; /' la longueur de chaque encorbellement ; p la charge par mètre courant.

On aura : L = Z-j-2/' et la charge totale sera égale à ph. Enûn, en raison de la symétrie, les réactions X0 et Xi, sur les appuis, seront égales entre elles et l'on aura :

X — s — pL \>-xi - j:

Considérons les corbeaux extérieurs; les moments fléchissants y sont représentés (fig. II) par une parabole dont l'ordonnée maxima CC ou BB' correspond à l'appui et a pour valeur, mesurée à l'échelle des moments, — 1/2 pi'1 (v. n° 209).

Quant à la représentative des moments entre B et C, si la poutre était coupée sur ses appuis, elle serait une parabole BGC passant par les appuis; et cette parabole aurait son sommet à une hauteur égale à -+- l/Spl2 (évaluée à l'échelle des moments); mais nous venons de voir que les moments en A et en B sont égaux à — l/2pl'2. Il faudra donc descendre en B'IC, de toute cette quantité, la parabole primitive des moments BGC, pour avoir la représentative définitive B'IC des moments fléchissants entre B et C. Dès lors, le moment Mmax au milieu de la portée BC aura pour valeur

(mai) —

pl.2

pl'2

les moments sur les appuis restant égaux à — 1/2 pl'2.

(b) Disposition la plus favorable. — Lorsque l'on est libre de faire varier le rapport de / à /' il y a intérêt à choisir ces longueurs de manière à rendre minimum le plus grand moment fléchissant développé dans la poutre ; et cette condition sera remplie lorsque les moments sur piles auront la même valeur que le moment au milieu de la portée BC, c'est-à-dire lorsque l'on aura

Cette équation résolue donne : /' = jr^' d'où

V = 0,353/ = 0,207 L, ce qui veut dire que, pour être dans les meilleures conditions, les corbeaux doivent avoir une longueur légèrement

supérieure au tiers de la partie moyenne, c'est-à-dire au cinquième de la longueur totale.

Dans ces conditions, un calcul très simple ferait voir que

illlllllllll 1

IH|IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIHIII 1 HIIHUIH1 Illlll

JiyHilIHUtlIIIW

(II

Fig. 280

le moment fléchissant maximum est environ six fois plus petit que si les appuis étaient placés aux extrémités en A et en D, et qu'il est exactement deux fois moindre que si la poutre n'était chargée qu'entre les points B et C.

299. Poutre surchargée à ses extrémités. — Les résultats qui précèdent justifient les dispositions, si usitées au Moyen Age et à la Renaissance, de maisons en encorbellement sur les rues (fig. 281) ; seulement, dans ce dernier cas, les extrémités des poutres supportent en général le mur de face dont la surcharge vient s'ajouter, comme ferait un poids isolé, à la charge continue due au plancher. Il est facile, connaissant cette charge isolée, de calculer, comme tout à l'heure, la meilleure proportion à donner à l'encorbellement. Soient :

Q la charge totale transmise aux extrémités des deux corbeaux, chacun d'eux ne prenant que 1/2 Q ;

P = ph, la charge totale, uniformément répartie, que le plancher transmet à la totalité de la poutre ;

K = Q: P le rapport de ces deux charges totales.

La partie milieu, dont la longueur est /, ne reçoit qu'une

fraction P' = P X ' de la charge du plancher, tandis que

chaque corbeau reçoit la fraction P" — P X

STAB. 30

POUTRE CONTINUE. — CHARGES PERMANENTES

Le moment M0 produit par chaque corbeau au-dessus de son appui est:

Le moment M' au milieu de la poutre, si cette dernière était coupée au-dessus des appuis, serait

ir=p<i=??.

Pour être dans les meilleures conditions il faut que M' = 2M0.

Dans cette relation, remplaçons M0 et M' par leurs valeurs ci-dessus, elle devient :