RESISTANCE A

la fibre qui fatiguera le plus n'atteindra pas encore la résistance de sécurité.

Mais pour la tige courte B, il en est tout autrement. S on la chargeait de P = 153 072k, on serait à la limite de flambage, avec un effort unitaire partout égal à p = 30k,653 ; ce qui est déjà très supérieur à la résistance de sécurité. Que le flambage commence et alors l'effort unitaire dans la fibre dangereuse de la section la plus infléchie va augmenter très vite et l'effondrement se produira immédiatement.

(c) Expériences de M. Considère. — Des expériences récentes exécutées par M. Considère, avec un degré de précision qui n'avait pas été atteint avant lui, ont justifié la formule d'Euler en montrant jusqu'à quelle limite elle est applicable. Elles permettent d'énoncer les conclusions suivantes :

1° Si le module d'élasticité de la matière restait constant, sous n'importe quelle pression, le flambage commencerait toujours pour la charge unitaire donnée par la formule d'Euler. En effet, M. Considère a vu se vérifier cette formule toutes les fois que la pression unitaire restait inférieure à la limite d'élasticité et l'on se rappelle que la phase d'élasticité (v. n° 119) est caractérisée par un module d'élasticité constant.

2° Dès que la pression unitaire dépasse la limite d'élasticité, comme le module E prend alors une valeur décroissante, il en est de même de la charge de flambage, dans l'expression de laquelle E entre au numérateur ; cette charge de flambage diminue donc: autrement dit, le flambage tend alors à se produire plus tôt et même beaucoup plus tôt que ne l'indiquerait la formule ; il entraîne avec lui l'effondrement et cela d'une manière d'autant plus certaine qu'il prend la pièce à l'instant où ses molécules sont dans une phase dangereuse de leur état élastique. Afin d'élucider cette question, reprenons les deux tiges de l'exemple précédent :

Pour la tige A, qui est longue, le flambage commencera réellement sous la charge totale de 1 548k, donnée parla formule d'Euler et il n'entraînera pas l'effondrement immédiat de la pièce, parce que, à cet instant, l'effort unitaire ne sera que lk,233, c'est-à-dire très inférieur à la limite d'élasticité.

Pour la tige B, qui est demi-longue, il commencera bien avant la charge totale de 153 072" donnée par la formule.

Si nous voulons connaître approximativement sous quelle charge il deviendra menaçant, nous nous baserons sur les expériences de M. Considère; nous multiplierons l'aire de la section (û = 5026mm2) par 18k, qui est la limite ordinaire d'élasticité du fer; ce qui donne 90468k au lieu de 153072. Il est donc probable que le flambage commencera pour la pièce B, sous cette charge totale de 90468k, et que l'effondrement le suivra immédiatement.

L'ABOUTEMENT

En résumé : 1° Pour les pièces longues (/ : r très grand) la formule d'Euler fournit la charge de flambage, précédant de plus ou moins près l'effondrement. 2° Pour les pièces courtes ou demi-longues, c'est la limite d'élasticité (nous ne disons pas la limite de rupture) qui annoncera le flambage, lequel entraînera forcément l'effondrement.

(d) Résistance de sécurité au flambage. — Quelles seront donc les charges de sécurité à adopter? Nous ferons le raisonnement suivant : Puisque, d'une part, c'est la limite d'élasticité qui annonce l'instant où la formule d'Euler n'est plus applicable et celui où l'effondrement est imminent et que, d'autre part, la résistance de sécurité est prise ordinairement égale au tiers de la limite d'élasticité, c'est ce coefficient 1/3, dont nous frapperons les nombres donnés par la formule d'Euler pour avoir les résistances de sécurité à l'aboutement et nous prendrons pour cette résistance

Tt2E/r\2

avec cette restriction que R' ne sera jamais supérieur à R résistance ordinaire de sécurité. Cette valeur R sera la limite d'application de la formule.

Nous donnerons plus loin les représentatives de cette résistance de sécurité à l'aboutement, pour différents matériaux (acier, fer, fonte, bois), et nous indiquerons comment elles peuvent servir à la détermination des dimensions des pièces aboutées.

335. Coefficients de la formule d'Euler. — Dans la formule précédente l'expression — est une sorte de coeffi-

cient de substance puisqu'il ne dépend que du module d'élasticité E de la matière.

Le tableau suivant donne les valeurs de ce coefficient pour les différents matériaux ainsi que les limites d'application de la formule d'Euler.

(a) Coefficients naturels de la formule d'Euler (rapportés au millimètre carré).

Tableau n° 1. — Coefficients naturels

Substances

Tl2E

Limite d'applicalioa pour

Acier . .

Fer . . .

Fonte . .

Bois. . .

FORMULES EN USAGE POUR LES PIÈCES ABOUTÉES

flota. — 1° Les nombres E et R sont rapportés au mm2. Ils sont empruntés aux tableaux des nos 117 et 136.

2° Les valeurs limites / : r de la dernière colonne ont été calculées en écrivant que R' = R ; ce qui entraîne :

La limite de l : r au-dessous de laquelle la pièce serait assimilée à un bloc travaillant à la résistance entière de sécurité R serait donc la longueur de la circonférence qui TÊT

aurait

pour diamètre. La table des nombres de la lin

du livre les donne avec facilité.

(b) Coefficients modifiés. — Excentricité de la charge.

— Nous proposerons plus loin de réduire de 20 0/0 les nombres des colonnes 3 et 4 pour tenir compte de l'excentricité possible de la charge ; excentricité qui a pour effet (v. n° 336) d'augmenter l'effort supporté par la fibre extrême. Dans ce cas le tableau précédent doit être modifié de la manière suivante :

Tableau n° 2. — Coefficients modifiés

Substances

Limite d'application pour

Acier . .

Fer . . .

Fonte. .

Bois. . .j

C'est d'après ce dernier tableau que les courbes de l'abaque n° 7 (v. plus loin n° 338) ont été construites.

336. Formule deRankine. — (a) Formule. — L'ingénieur anglais Rankine suppose que dans tous les cas, quelque faible que soit la charge, dès qu'une pièce est aboutée, ou bien elle subit le flambage et par conséquent prend une certaine courbure, ou bien elle subit des effets d'excentricité qui font que la presssion N agit en dehors de son axe. Soit f l'excentricité de la charge, laquelle peut être la flèche prise au milieu, c'est-à-dire au droit de la section CD (flg. 317-1). Reproduisons plus en grand (flg. II) cette section. Elle se trouve dans les conditions indiquées au n° 322, c'est-à-dire qu'elle supporte une compression N appliquée en un point K situé à la distance X = f de son centre de gravité. La fibre la plus comprimée est en C à la distance v et elle supporte un effort unitaire de compression qui est donné par la formule du n° 329 dans laquelle on remplace X par f.

a, est la largeur du noyau central de la section et l'on a, comme on le sait,

r étant le rayon de giration.

Fig. 317

Or p peut atteindre la résistance ordinaire de sécurité R; on fera donc p = R dans la formule (1) ; quant à N : 12 c'est le quotient de la charge totale divisée par la section, c'est donc la résistance apparente de sécurité à l'aboutement R' telle que nous l'avons définie plus haut; on aura, par conséquent

Si l'on pouvait connaître la flèche f le problème serait résolu : malheureusement on ne sait pas déterminer f et l'on est obligé de procéder en faisant des hypothèses plus ou moins justifiées.

Rankine admet que cette flèche est: 1° proportionnelle au carré l'1 de la longueur ; et 2° inversement proportionnelle au rayon de giration r.

Cela fait donc entrer / au carré dans le numérateur du terme f : a et comme a est évidemment proportionnel à r, il en résulte que r entre aussi au carré dans le dénominateur de ce même terme.

En définitive, on aura R

(3) R' = j—2 (formule de Rankine).

RÉSISTANCE A L'ABOUTEMENT

Telle est la formule de Rankine : on voit que pour l : r, très petit, c'est-à-dire pour un bloc, on aura R' très voisin de R, résistance entière de sécurité.

Quant au facteur K, il est à déterminer empiriquement d'après les expériences.

Presque tous les ingénieurs qui se sont occupés de la question se sont basés, pour cela, sur les belles expériences de Hodgkinson. Malheureusement ils sont loin d'être d'ac-

cord entre eux, ainsi que le montrera le tableau ci-dessous.

(b) Coefficients de la formule. — Le tableau n° 3, ci-dessous, donne les valeurs proposées par divers Ingénieurs pour les coefficients R et K de la formule de Raukine

Tableau n° 3

Forme

des abouls

FER