BOIS

Ronds Plats. .

Ronds .

Plats. .

Ronds .

Plats. .

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R,°ndH 6-, 50 Plats. .)

R°ndS-j 5k,60 Plats, .)

et (l : r)2 = x,

la formule de Rankine s'écrit 2/(1+ Kx) = R.

Elle représente une hyperbole qui a pour asymptotes : 1° La droite y = 0, c'est-à-dire l'axe des x, et 2° La droite 1 -+- Kx = 0, c'est-à-dire une parallèle à l'axe des y située à la distance x' = — (1 : K).

C'est pour connaître cette distance x' de la 2e asymptote que nous avons calculé, dans le tableau, les valeurs (1 : K). D'ailleurs pour x — 0, on a y = 11, ce qui donne le point de la courbe situé sur l'axe des y. Dès lors, connaissant les asymptotes et un point, il serait facile de construire sur l'abaque n° 7 (v. plus loin n° 338) celle des courbes de Rankine que l'on adopterait, pour le cas où on la préférerait aux courbes d'Euler qui sont dessinées sur ledit abaque.

(d) Observations relatives au tableau. — Ligne A. — Les coefficients sont empruntés à l'aide-mémoire de P. Huguenin p. 203 ( Baudry et C°, éditeurs). Ce sont ceux dont se servent les Ingénieurs allemands. Ils se rapportent à la flg. 113 de cet aide-mémoire (p. 262), c'est-à-dire à une colonne à deux bouts libres. (Abouts ronds.)

On ne dit pas, dans l'aide-mémoire, comment il faut modifier le coefficient K pour des abouts plats. Nous basant

sur ce que la longueur de sinuosité / (v. n° 333) est la moitié de la longueur vraie pour le cas où les abouts sont encastrés, et que cette longueur entre au carré dans le dénominateur de la formule, nous avons divisé par 4 le premier nombre K pour les bouts plats. Mais il est entendu alors que / serait la longueur vraie et non plus la longueur de sinuosité.

Ligne B. — Kœchlin, Statique graphique, p. 514 (Baudry et C°, éditeurs). — Ce sont les mêmes nombres que ceux des Ingénieurs allemands : seulement M. Kœchlin applique aux pièces avec abouts plats ceux que les Allemands appliquent aux abouts ronds et il dit de quadrupler K pour le cas des abouts ronds. Nous pensons qu'il a fait erreur et que les coefûcients de M. Kœchlin devraient être les mêmes que ceux des Ingénieurs allemands (ligne A).

On remarquera les fortes valeurs (fer 7k,50 — fonte 15" — bois 0k,7) attribuées par les Allemands au numérateur et, par conséquent, à la résistance de sécurité d'une pièce extrêmement courte.

Nous croyons qu'il y a là une exagération, et voici nos raisons. Il est vrai que si la pièce est très courte elle ne risque pas de flamber et il semble que l'on ait le droit de lui appliquer rigoureusement la résistance entière de sécurité; mais il faut tenir compte de l'excentricité inévitable de la

FORMULES EN USAGE POUR LES PIÈCES ABOUTÉES

charge. Or, nous avons vu (n° 331) que si cette excentricité X atteignait la limite a du noyau central la résistance de sécurité à admettre devrait être réduite de moitié. En supposant qu'elle puisse atteindre le quart de a, ce qui est très peu, cela donnerait en faisant dans la formule X = 0.25a

C'est pourquoi il nous semble que le numérateur de la formule de Rankine, loin d'être pris aussi élevé, devrait toujours être une fraction (0,80 par exemple) de la résistance entière de sécurité à la compression.

Cette remarque s'applique aussi à la formule d'Euler ; c'est pourquoi au lieu d'adopter pour résistance de sécurité au flambage

nous avons préféré prendre, dans le second membre, les 0,80 de R et arrêter l'emploi de la formule pour R' — 0,80 R; c'est ce que nous avons fait plus haut, et le tableau n° 2 a été établi en conséquence ainsi que l'abaque no 7 (v. plus loin).

Ligne C. — Les nombres de cette ligne sont empruntés à M. Resal, Traité des ponts métalliques, p. 13 (Baudry et Cle, éditeurs). Ainsi que le dit l'auteur, pour avoir les nombres R, nous avons pris, pour le fer, le 1 /6 du nombre donné comme charge de rupture, le 1/8 pour la fonte et le 1/10 pour le bois. Les nombres K que donne M. Resal s'appliquent aux colonnes à bouts plats. Pour les colonnes à bouts ronds M. Resal, considérant sans doute qu'un bout plat ne donne lieu qu'à un encastrement incomplet, recommande de diviser par 2 et non pas par 4 le coefficient K des colonnes à bouts ronds pour avoir celui des autres. Cela revient à prendre pour longueur de sinuosité, /, des colonnes à bouts plats.

0,707.. .L au lieu de

Nous croyons qu'il est dans le vrai et que cela est plus prudent.

Ligne D. — Les nombres sont empruntés à M. Flamand, Résistance desmatériaux, p. 444. (Baudry etCi0, éditeurs). Les coefficients K sont à peu près les mêmes que ceux donnés par M. Resal, du moins pour les colonnes à bouts plats. Pour les colonnes à bouts ronds, M. Flamand dit de quadrupler ou de doubler le coefficient K : nous l'avons quadruplé. Pour R, nous avons pris ainsi que le dit M. Flamand la moyenne des valeurs maxima et minima indiquées dans son ouvrage pour les résistances de sécurité.

Ligne E. — Les nombres de cette ligne sont ceux adoptés par les Ingénieurs Américains ; ils sont empruntés à l'ouvrage déjà cité de M. Resal. Ils donneraient une représenta-

tive très tendue fournissant pour les grandes valeurs de / : r, des résistances de sécurité assez fortes.

337. Formules de MM. Love, de Leber et Bricka. — M. Love, traduisant les expériences de Hodgkinson, a donné deux formules serrant d'aussi près que possible ces expériences et s'appliquant aux colonnes à bouts plats, en fer et en fonte, mais ne s'appliquant qu'à des pièces cylindriques. L'une des formules est relative aux colonnes demilongues (L < 25 X D) et l'autre aux colonnes longues (L > 25 X D.)

MM. de Leber et Bricka (Calcul des ponts métalliques, p. 104. Baudry, éditeur,) ont modifié laforme des équations de Love et y ont fait entrer la largeur a du noyau central de la pièce, ce qui, d'après ce que nous avons dit plus haut, nous paraît très rationnel. Leur formule, car ils proposent de ne se servir que d'une seule des formules, est alors tout à fait générale. Us en ont fait la preuve en l'appliquant à des expériences récentes que M. Bauschinger a faites sur la résistance à l'aboutement de fers en T, en double T et en U, et ils ont constaté qu'elles serraient ces expériences d'aussi près que possible.

La formule de MM. de Leber, et Bricka, s'appliquant à des pièces avec abouts libres (fig. 315-A), est

Fer

Fonte

dans laquelle a = I : vQ est la largeur du noyau central. Dans leur ouvrage, ces Ingénieurs donnent la formule pour des pièces avec abouts encastrés ; le coefficient de / : a est alors réduit de moitié.

338. Abaque pour le calcul des pièces aboutées par ia formule d'Euler. — Quel parti prendre en présence de tant de formules différentes? Nous autorisant de l'avis de M. Collignon et de la pratique de grandes maisons de construction, de la maison Eiffel entre autres, c'est la formule d'Euler corrigée commenousl'avons dit (v. n°335 tableau n° 2) que nous avons adoptée et que nous avons traduite sur l'abaque n° 7.

(a) Construction de l'abaque. — La partie I de l'abaque, intitulée abaque des matériaux, donne en abscisses les résistances de sécurité à l'aboutement R' — N : û. Les ordonnées (que d'ailleurs nous n'avons pas chiffrées) sont proportionnelles aux valeurs de (l : rf. Par conséquent si dans l'équation précédente (v. 335)

nous posons R = x et I - 1 — y et — - — = M2,

il vient

xij = M2,

ce qûi représente autant d'hyperboles qu'il y a de matériaux considérés.

Nous avons une hyperbole pour la fonte, une pour le fer, une pour l'acier et deux pour le bois.

Pour le bois au lieu de 4 — 5 — 6... kilos, il faut lire pour les résistances M', 0k,4 — 0k,5 — 0\6. . . , etc. . .

Les nombres M2 qui servent de paramètres à ces hyperboles sont empruntés au tableau n° 2 de la page 269.

Selon nos conventions nous limitons ces hyperboles aux résistances IV = 0,8R portées à la colonne 4 du tableau.

Cela veut dire qu'il faut, pour les valeurs de l : r données à la colonne 5 du tableau, abandonner les hyperboles et les continuer par les verticales répondant aux abscisses données par la colonne 4. Les pièces sont alors considérées comme ne devant plus flamber. Le coefficient 0,8 a été adopté pour tenir compte de l'excentricité de la charge.

A ces hyperboles et à ces droites on pourrait substituer d'autres représentatives de la résistance de sécurité R' à l'aboutement. Ces représentatives traduiraient soit des formules demi-empiriques comme celles de MM. Raukine, Love, de Lsber et Bricka, soit des résultats d'expériences comme celles de MM. Hodgkinson, Considère, Bauschinger, etc.. On s'en servirait comme nous allons l'indiquer pourvu, toutefois, qu'elles fussent traduites dans le même système de coordonnées x = R' et y — [l:r)3.

(b) Problèmes usuels à résoudre. — Le problème des pièces aboutées se posera toujours sous les deux formes suivantes :

Problème n° 1. — On connaît : 1° la longueur de sinuosité, /, d'une pièce de nature donnée (fonte, fer, acier, bois); 2° les éléments de sa section droite.

Quelle est la charge totale N qui pourra lui être imposée ?

Problème n" 2. — On connaît : 1° la longueur de sinuosité l d'une pièce de nature donnée ;

2° La charge totale N qu'elle doit pouvoir supporter.

On demande de déterminer les dimensions de sa section droite.

Le problème n "2 plus difficile à résoudre que le problème n° 1 n'est déterminé que si la pièce est h section modulée; c'est pourquoi il faut s'entendre à ce sujet.

(c) Sectionsmodulées. — Pour le bois nous ne considérons que les pièces à section carrée ou ronde : pour les métaux la forme des sections pourrait varier à l'infini. Nous nous sommes bornés aux types indiqués au tableau n° 4 cicontre ; ils sont au nombre de treize. Pour les cornières (type G), pour les fers à T simple (type H) et pour les fers en U (type K), les rapports des différentes dimensions à la

RÉSISTANCE A L'ABOUTEMENT

Tableau n° 4. — Types et modules