Usage de l'abaque. — (a) Problème 1. — « Une

« pièce aboutée en fonte, du type G, de longueur de sinuo- « sité / = 3,30, a pour largeur (ou module) d = 0,156. « Quelle charge totale N peut-elle supporter ? »

Cherchons d'abord, à l'aide de l'abaque, la résistance de sécurité, R', à admettre.

/ et d étant connus on prend le rapport / : d, l:d = 3,30: 0,156 = 21.

Sur le côté droit de l'abaque I (suivre sur la fig. 318), prenons le point /: ci =21. Suivons l'horizontale de ce point jusqu'à la parabole x = y2 ; cela nous donne un point d, dont l'abscisse est (/ : d)2, ou 212.

Mais ce qu'il nous faut c'est {l : r)2 et non pas {l-d)2. Or, puisque r2 = Kd1, il en résulte que (/ : d)2 = K(/: r)2.

On obtient (/ : r)2 au moyen des obliques descendantes qui, sur Yabaque des modules (fig. I), divergent du point A. Ces obliques ont pour équation x = Ky ; le coefficient K est donné, suivant les types, par le tableau n° 4 (colonne n° 3).

Dès lors, prenons la verticale du point d, jusqu'à sa rencontre en c avec l'oblique descendante du type C; l'ordonnée de ce point c nous donne le rapport (/ : r)2, dont nous avons besoin.

Menons l'horizontale de ce point c et prenons, sur l'abaque des matériaux (fig. II) sa rencontre en b avec la courbe des fontes.

L'abscisse de ce point b nous donne la résistance de sécurité R' à admettre ; ici R' = 5k,30 par mm2.

On peut, dans le cas actuel, où l'on se sert de la formule d'Euler, trouver directement R' parle calcul. En effet, cette formule est

Le nombre 26320 est emprunté au tableau n° 2 (p. 269); on a :

d - 0,156 et / = 3,30, d'où d2 = 0,024336 et l2 = 10,89.

Le tableau n° 4 (p. 272) donne, pour le type C, r2 = 0,0930rf2, d'où l'on déduit, en substituant ces valeurs de d2 et de l2,

on peut prendre R' = 5\30 en forçant légèrement.

Pour avoir la charge totale N que la pièce peut supporter on pourra procéder :

1° Par le calcul : Le tableau des modules n° 4 donne pour le type C (colonne 4), Q = 0,4005 d2 ; or

d — 156mm, d2 = 24336mm2, d'où Q = 9 746mm2,

ce qui, à raison de 5k,30 par mm2, donne

2° Par l'abaque : Nous n'indiquerons pas la solution par l'abaque; elle serait moins précise que la précédente et exigerait un calcul numérique aussi long.

(b) Problème 2. — « Une pièce aboutée en fonte, du type « C, doit avoir une longueur des sinuosité connue (/ = 4,00) « et doit supporter une charge donnée (N = 77200k). « Quel doit être son module e£ ? »

(I) Modales. (H) Matériaux

Fig. 318

Ce problème se présente surtout lorsque l'on prépare un projet, tandis que le premier se pose lorsque l'on vérifie un projet déjà fait. Ce qui rend le problème n° 2 plus difficile que l'autre, c'est que, ne connaissant pas le module d, puisque c'est l'inconnue, on ne peut connaître ni (/ : d)2, ni

STAB. 3:i

RÉSISTANCE A L'ABOl'TEME.NT

(/ : r)2, ni, par conséquent, la résistance de sécurité R' à admettre.

Quelques auteurs disent de procéder par essais successifs. La méthode est assez pénible, l'abaque n° 7 est combiné de

manière à éviter ces essais. Indiquons sa disposition et son

usage.

L'abaque n° II donne, par ses courbes, la représentative des valeurs de sécurité R'. Ce sont les abscisses x de

Pour le calcul, par la formule d'Euler, des pièces aboutées

Les obliques issues de A, sur l'abaque (I), se nomment obliques descendantes .

Les obliques issues de C sont les obliques montantes, celles issues de B [abaque (11)] sont les radiantes.

Pour les bois, au lieu de lk — 2k — 3k, etc., lire comme résistance B', 0k,l — 0k,2 — 0k,3 et, aux radiantes, au lieu de 100 — 12o — 130..., lire 10,0 — 12,5 — 13,0, etc.

(1) Abaque des modules. III) Abaque des matériaux.

Fi*. 3I0

ces courbes qui donnent R', c'est-à-dire N : il, puisque l'on aura N = R' X

Les ordonnées de ces courbes sont y == (7 : r)- ; par conséquent les abscisses de ces courbes sont une certaine fonction de (l : r)2.

L'abaque traduit la formule d'Euler modifiée, par conséquent ses courbes sont des hyperboles du second degré, se continuant par des droites verticales ; mais elles pourraient être tout autre chose, voire même être des courbes empiriques traduisant des résultats d'expériences. Tout ce que

FORMULES EN USAGE POUR LES PIÈCES ABOUÏÉES

nous allons dire s'y appliquerait, pourvu que dans cette traduction graphique les ordonnées fussent toujours prises égales aux diverses valeurs de (/ : r)2.

Gela posé, cherchons d'abord la résistance de sécurité R', après quoi nous déterminerons le module d.

Recherche de la résistance de sécurité R'. — On a

ou, en multipliant, haut et bas, par l2 et remarquant que (/ : r)2 — y et que 12 = KVa, le coefficient K' étant K' = m : K,

n fiy n

« *=wrAr)=xpy'

ce qui veut dire que le point inconnu de la courbe des résistances de sécurité doit avoir son abscisse x, ou R', lié à son ordonnée y, ou (/ : ?*)2, par l'équation (2) ; mais cette équation représente des droites, issues de l'origine B.

Ce sont ces droites que nous avons nommées des radiantes et que nous avons tracées sur l'abaque des matériaux.

Par conséquent on calculera le coefficient N : K'/2, en prenant le facteur K' dans la colonne 5 du tableau des modules (tableau n° 4.) On prendra celle des radiantes qui répond au nombre ainsi calculé et on cherchera le point d'intersection de cette radiante avec la courbe voulue de matériaux; ce point donnera, par son abscisse, la résistance desécurité R' à adopter et parsonordonnée la valeur(Z : ?-)2.

Dans l'exemple numérique donné on a :

N = 77200, / = 4,00, d'où l2 = 16.

Le tableau n° 4 donne (colonne 5) pour le type choisi C

K' = 4,3065, d'où l'on tire pour le quotient

K.72 4,3065 X 16 Sur l'abaque des matériaux, nous prenons la radiante marquée 1120. (Comprise entre 1100 et 1200). Elle rencontre en b (fig. 318) la courbe des fontes; l'abscisse du point b donne la résistance de sécurité à admettre

R' = 5\30 par m"'2.

L'abaque des modules permettrait, par ses obliques montantes , de faire graphiquement le calcul du quotient N : K'/2 ; voici comment :

Pour l'exemple choisi on a

N = 77200 et l2 = 16, d'où N : l2 = 4825.

Dans l'espace situé entre les abaques I et II on prend le point situé à la hauteur 4825. (Il se confond très sensiblement avec 5000.)

On suit l'horizontale de ce point jusqu'à sa rencontre en a (fig. 318) avec l'oblique montante du type C. L'abscisse de ce point nous donne par sa valeur, 1120, le quotient cherché N : K'P.

Recherche du module d. — On peut opérer arithmétique-

ment, c'est ce qui est préférable, ou graphiquement en se servant de l'abaque des modules.

Arithmétiquement, on doit avoir, R' étant connu : QR' = N, d'où Q = N : R'.

Mais la colonne 4 du tableau n° 4, donne

Q = md2; d'où l'on déduit

V mR'

Dans l'exemple donné on a

N = 77200, R' = 5k,30, m = 0,4005, -et

« = vQot = 1/5508 = ,90""-60-

On fera bien de forcer légèrement et de prendre d — 191mm ; par conséquent le support sera une colonne cylindrique creuse, en fonte, ayant les dimensions suivantes :

Diamètre extérieur, t/ = 1 9lmn'.

Diamètre intérieur, d' = 0,ld = 133mm,7.

Epaisseur, e = l/2(d — d') = 28mm,6.

Pour opérer graphiquement, nous menons (V. fig. 318) l'horizontale du point b jusqu'à la rencontre, en c, avec Y oblique descendante répondant au type C ; nous menons la verticale du point c jusqu'à la rencontre, en d, avec la parabole a- = y2, et l'horizontale du point d nous donne, sur la gauche de l'abaque des modules , le rapport / : = 21. Or, l = Am, d'où l'on déduit

Nota. — Malgré l'intérêt théorique qu'il y aurait à ne se servir que des abaques et à supprimer les calculs arithmétiques, nous engageons vivement le lecteur à employer le calcul pour déterminer le quotient N : K72 et ensuite le module d.

(c) Autre application. — « Dans une poutre en croisillon « une des pièces obliques, reliant la membrure supérieure à « la membrure inférieure, doit supporter une compression « N = 9500k; sa longueur réelle est L == 3m,20.

Les membrures ne sont pas assez fortes pour que l'on « puisse considérer les nœuds d'assemblages comme consti- « tuant des encastrements, même incomplets (V. n° 333, fig. 316-C).

« Calculer les dimensions de cette pièce, sachant qu'elle « sera constituée par une cornière en acier du type G du « tableau n° 4. »

La longueur de sinuosité / doit être prise égale à la longueur réelle / = L = 3,20, d'où l2 — 10,24. Le tableau n° 4 donne, pour le type choisi G, K' = 6,5329, d'où l'on déduit

Sur l'abaque des matériaux, la radiante marquée 142 ren-

RESISTANCE A L'ABOUTEMENT

contre la courbe acier en un point dont l'abscisse donne la résistance de sécurité

R' = 2", 80 par m1"2.

Quant au module d, on aura en remarquant que pour le type G (tableau n° 4, col. 4) on a m = 0,2489,

/ N 9500 V mR'

La cornière à employer devrait donc avoir les dimensions suivantes :

Largeur d'ailes, d = 117mm.

Epaisseur, e = 2/15af d'où e = 15mm,6.

Remarque. [ — La même radiante 142 rencontrerait la courbe fer en un point dont l'abscisse serait R' = 2\6 au lieu de 2k,80, ce qui prouve que dans, ces conditions, il n'y aurait aucun intérêt économique à employer l'acier.

Mais supposons que la pièce en question soit assemblée à ses extrémités dans des membrures assez puissantes pour que, la considérant comme encastrée, nous prenions pour longueur de sinuosité 1= 1/2 L = lm,60 au lieu de 3m,20; alors

La radiante marquée 567 rencontre la courbe acier en un point dont l'abscisse est R' = 6k,2 environ, tandis que la courbe fer est rencontrée sur sa partie verticale, laquelle répond à une résistance R" == 4k,8 : il y aurait alors avantage réel à employer l'acier. On aurait

= 78mm,5 au lieu de 117mn>

e = 2/15rf == 10mm,4 au lieu de 15mm,4.

S 8. Pièces comprimées dans les charpentes en bois