PROPRIÉTÉS DES SYSTÈMES ARTICULÉS

Pour chaque nœud nous pourrons écrire deux équations, et comme il y a n nœuds, cela fera 2?t équations ; or, on doit avoir autant d'équations que d'inconnues, cela donne donc la relation

n'-+- 3 = 2n ou (I) n' = 2n — 3.

Lorsqu'elle est remplie on a ce que nous nommerons un si/stème articulé strict.

(d) Système insuffisant [ou déformable). — Si le nombre de barres est inférieur au nombre n' donné par l'équation (1), alors on a moins d'inconnues que d'équations. Un certain nombre des tensions inconnues seront donc déterminées, mais il se pourra, quand on en substituera les valeurs dans les équations en trop, données par un ou plusieurs nœuds, qu'elles ne puissent pas les vérifier ; il y aura incompatibilité, ce qui voudra dire que ces nœuds restants ne pourront pas être en équilibre sous l'action des forces qui leur viennent des autres nœuds; autrement dit, la ûgure se déformera. On dit alors que ce système articulé est insuffisant ou encore qu'il est déformable.

(e) Système surabondant. — Si le nombre des barres est supérieur au nombre n' donné par l'équation (1), alors il y a plus d'inconnues que d'équations, et ces inconnues sont indéterminées. On dit que le système est surabondant ; pour déterminer les tensions des barres il faut faire intervenir les déformations élastiques, ce qui rend le problème beaucoup plus difficile à résoudre.

349. Systèmes triangulaires. — On se rendra compte facilement, sur des systèmes formés de triangles juxtaposés, que tout système de barres qui est strict au point de vue de la détermination des forces intérieures est aussi, au point de vue géométrique, strictement indéformable ; ce qui veut dire que la connaissance des longueurs de chaque barre suffit à déterminer, d'une seule manière, le système tout entier. (Suivre sur la fi g. 328, qui est un système triangulaire.)

En effet, le triangle est le plus simple de tous les systèmes strictement indéformables ; pour lui on a n — n' — 3. Si, sur l'un de ses côtés, nous construisons un autre triangle,

nous aurons encore un autre système strictement indéformable et, plus généralement, si prenant deux sommets d'un système strict nous en faisons les points de départ d'un nouveau triangle, nous aurons un nouveau système strict.

En opérant ainsi, chaque nœud nouveau nécessite l'introduction de deux barres nouvelles. Si, partant du triangle (3 barres et 3 nœuds) nous voulons arriver .à un système strict de n nœuds, c'est-à-dire renfermant (n — 3) nœuds déplus que le triangle, il faudra ajouter 2(n — 3) barres; le nombre total n' de barres correspondant à un système de n nœuds sera donc

ii' = 3 + 2(n-3) ou

Nous retrouvons ainsi la condition de détermination.

Exemple. — Sur la figure 328 nous avons pour les nœuds n = 9 et pour les barres n' = 15 et l'on a bien

n' = 2/i — 3, car 13 = 2X9 — 3.

Si l'on joignait, par une barre, le nœud n° 3 au nœud n° 8, le système deviendrait surabondant ; il y aurait une barre en trop.