PROPRIÉTÉS DES SYSTÈMES ARTICULÉS

mur et une autre composante 1/2 Q sur le sommet 2. C'est cette dernière, seule, que nous considérerons.

Admettons qu'elle est équilibrée par deux réactions d'appuis X0 et Xt qui lui seront parallèles. Le dynamique bcda (fjg. IV), dans lequel bc et cd sont parallèles aux arbalétriers tandis que ca est parallèle au tirant, fait connaître en ab et da les réactions et en bc et cd les compressions des arbalétriers. L'arbalétrier de droite est le plus comprimé ; sa compression est mesurée par la grandeur de la ligne cd.

On remarquera que le triangle bcd est rectangle en b et que son angle en c est égal à 2p : on aura donc pour la compression (cd — F') de l'arbalétrier

F' = 2, 2 sin 2p

remplaçant Q par sa valeur,

F' = 9Xsin2([3-MO°)Xii U 2 sin 2p

(d) Equation d'équivalence. — Il y aura équivalence entre l'action du vent et celle de la neige si l'on a F = F', ce qui donne l'équation

h cotg p q sin2(p -+- 10°) 20 2 sin 2p '

remplaçons sin 2? par la valeur 2 sin p cos p et cotg p par cos p : sin p ; il vient, après simplifications ,

v/A — sinio»

Pour toute valeur de p inférieure à celle-ci, l'effet de la neige l'emportera sur celui du vent et inversement.

[e) Abaque de comparaison. — Posons x = tg p et y = h:q.

L'équation (3) peut s'écrire en substituant ces valeurs de x et de y

(4) y — 5 (a? -+- tg 10°) X cos2 10°.

Elle représente une parabole dont l'axe est vertical, et dont

le sommet, situé sur l'axe des x, a pour abscisse a?t = — tg 10°.

Un système de droites x = qy donne, en prenant x = h, la valeur de y = h : q.

Un exemple numérique fera comprendre l'usage de cet abaque (fig. 326).

Exemple. — Un comble doit être établi avec une pente de 2 de hauteur pour 3 de base (tg p = 2 : 3 = 0,66.) Des renseignements statistiques permettent de supposer que la hauteur maxima de neige pourrait atteindre h = 0m,650, et que le vent ne soufflant jamais avec une vitesse v supérieure à 30m par seconde (voir tableau n° 2, page 280) ne développera jamais une pression normale, q, supérieure à H2k,500 par mètre carré. Laquelle des deux surcharges,

neige ou vent, doit-on prendre en considération pour l'étude du projet ?

1° On prend sur le bord supérieur le point pour lequel h = 0m,65.

2° On descend jusqu'au point n de rencontre avec l'oblique 112", 500. (Cette oblique n'est pas tracée sur l'abaque ; elle serait comprise entre les obliques 100 et 125. On apprécie la position du point n à vue d'œil.)

3° On mène l'horizontale nn' jusqu'à la rencontre en n' avec la parabole.

Comparaison entre les effets du vent et ceux de la neige.

Nota. Sur cet abaque la puissance unitaire du vent est représentée par la lettre q tandis que sur le tableau de la page 280 elle l'était par la lettre p.

Jl= 0,20 0,30 0,4-0 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1™

Fig. 326

4° L'abscisse, x — tg p, du point n' est x = 0,812 environ.

Telle serait la pente pour laquelle il y aurait équivalence entre les effets du vent et ceux de la neige. Comme la pente donnée 0,66 est plus faible, c'est la surcharge de neige qui sera la plus dangereuse ; c'est elle qu'il faudra faire entrer dans les calculs.

Nota. — En prenant pour puissance unitaire du vent q = 125k et pour hauteur maxima de la neige h = 0'n,80, comme nous avons fait plus haut, l'abaque donne une pente de 0,850, ce qui veut dire que :

« En admettant qu'il puisse tomber 0m,80 de neige, et que « le vent puisse souffler avec une vitesse de 31m,70 par se- « conde, pour les toits dont la pente est supérieure à 85 0/0 « il faudra considérer l'action du vent sans s'occuper de « celle de la neige ; pour les toits à pente plus faible ce sera « le contraire. »

FERMES DE COMBLES

§2. — Propriétés des systèmes articulés

347. Définitions. — Les fermes de combles et les poutres en treillis sont constituées par des pièces dont les axes sont des lignes droites et que l'on nomme des barres. Les points où ces barres se réunissent se nomment des nœuds. Certains de ces nœuds reposent directement sur les appuis, ce sont \qs nœuds d'appui :, ce sont eux qui reçoivent les réactions d'appui ; tels sont les nœuds n* 1 et n° n de la fig. 328 ; d'autres reçoivent les charges ; ce sont les nœuds de charge ; tels sont les nœuds n° 2, n° 4 et n° 7 de la fig. 328. D'autres, les nœuds libres, ne servent qu'à réunir les barres, tels sont les nœuds n° 3, n° 5, n° 6 et n° 8.

Fig. 327

Nous supposerons que, aux différents nœuds, la réunion des barres se fait par des tourillons tels que a (flg. 327) permettant la rotation. C'est ainsi que sont constitués la plupart des ponts des systèmes dits américains .

En France on ne réunit pas ordinairement les barres par des tourillons, mais plutôt par des assemblages rigides tels que b (flg. 327) rivés, qui consolident les nœuds sans changer beaucoup, cependant, la répartition des forces dans les barres.

348. Classification des systèmes de barres. — {a) Avantages. — Les principaux avantages des systèmes de barres sont les suivants : 1° Si le système est composé du nombre n1 voulu de barres comparé au nombre n de nœuds (nous établirons plus loin la relation n' = 2» — 3 qui doit relier n1 et n) ;

2° Si les charges ne sont appliquées qu'aux nœuds;

3e Si les appuis sont stricts (voir plus haut n° t69-e) alors :

(a) Les barres ne subissent que des tensions et des compressions, c'est-à-dire des efforts longitudinaux et jamais de flexion.

(b) Ces tensions sont calculables par la statique pure, sans faire intervenir les déformations élastiques.

(c) A la condition que les appuis soient stricts, les changements de température ne produisent que des modifications insignifiantes dans les efforts supportés par les barres.

[b) Condition de détermination. — Établissons la relation qui doit exister entre le nombre n de nœuds et le nombre n' de barres pour qu'il en soit ainsi.

D'abord, comme système d'appui strict, prenons (v. n° 169-e) celui qui consiste en une rotule glissante et en une rotule fixe B. C'est, d'ailleurs, le seul système d'appui strict que nous puissions adopter. Prenons pour origine 0 le nœud d'appui marqué n° 1 ; pour axe des y la normale à la surface de glissement, pour axe des x une perpendiculaire à cette normale ; soit

n le nombre des nœuds,

n' le nombre des barres.

L'appui 0 ne peut développer qu'une réaction Y0 normale à la surface de glissement; c'est une première inconnue. L'autre appui, n, peut développer une réaction quelconque mais dont nous chercherons la composante y, parallèle à l'axe oy et la composante Xi parallèle à l'axe des x. Cela fait déjà trois inconnues, en comptant Y0.

Nos autres inconnues seront les tensions fi, f%, /V

des barres. Il y en a autant que de barres, c'est-à-dire n'.

Cela posé : chaque nœud, y compris les nœuds d'appui, doit être séparément en équilibre. Pour chacun d'eux nous écrirons que la somme des projections, sur les axes coordonnées, des forces qui y sont appliquées est nulle.

Pour les nœuds libres, les seules forces seront les tensions inconnues des barres.

Pour les nœuds chargés, ce seront les tensions fi,f2, fn<

(inconnues) des barres et, en plus, les charges (connues).

Pour les nœuds d'appui, ce seront les tensions (inconnues) des barres qui y aboutissent et, en plus, les réactions Y0, Xi, et yi (inconnues). Nous aurons donc, comme inconnues, les tensions des barres, au nombre de n', et les trois réactions, soit n' -t- 3 inconnues.