FORGES DE LA PROVIDEKCE
Fers ordinaires.
Fers à larges ailes .
N =3oooo
25ooo
2oooo
i5ooo
loooo
5ooo
i-ooo L5oo M=5oo
Fig. 358
Cooo 4-50O
0,7 de la différence et que rien n'étant changé aux épaisseurs d'ailes les poids aussi bien que les moments de résis-
tance (I : v) varient dans le même rapport. 0,7. Portons ces valeurs dans la formule, il vient
FERME POLONCEAU A UNE BIELLE PAR ARBALÉTRIER
( 70,95 V +325XO,30XO,000820814X105/'
La parenthèse prend la valeur (1-1-0,306) et l'on a en effectuant les calculs :
valeur acceptable, car elle diffère très peu de 6000000; par suite le fer trouvé est bon.
Nous aurions pu prendre un fer à larges ailes dont les dimensions auraient été trouvées d'une manière analogue.
Remarque I. — Si le fer trouvé au moyen de l'abaque donnait une valeur de R trop différente de 6 k., on augmenterait ou on diminuerait de lmm, puis de 2 si c'était nécessaire l'épaisseur trouvée pour l'âme, et on referait la vérification ci-dessus avec la nouvelle valeur adoptée.
Remarque II. — Si nous voulons employer un fer laminé, nous trouvons qu'il pèse 70\95 par mètre, tandis que le fer composite que nous avions choisi ne pesait que 53k,77.">.
Ici, comme dans le cas des poutres de planchers, il y aura en général intérêt à employer des fers composites de préférence aux fers laminés.
§ 9. — Pièces secondaires des combles en fer
375. Pannes en fer. — Théorie des pièces déversées. — (a) Préliminaires. — Nous avons fait, au début de l'étude des combles, la convention que les pannes étaient coupées au droit des fermes ; nous calculerons donc ces pannes comme des pièces appuyées à leurs extrémités et supportant une charge uniformément répartie.
Dans les fermes en fer, l'espacement des fermes pouvant être assez considérable, les pannes deviennent des pièces fort importantes. Elles sont alors constituées par des fers double T assemblés à leurs deux extrémités sur les arbalétriers.
La panne peut être posée sur l'arbalétrier comme dans les fermes en bois; mais cette disposition n'est pas à recommander et on préfère l'assembler sur l'âme de l'arbalétrier (fig. 359). On ne tient pas compte, néanmoins, dans le calcul, de l'encastrement plus ou moins complet que produit ce mode d'assemblage.
Le fer est quelquefois placé de manière que son axe soit vertical; on doit alors fixer à sa partie supérieure une fourrure en bois sur laquelle seront cloués les chevrons (ûg. 359-1).
I II
Fig. 359
Le plus ordinairement, l'axe du fer est perpendiculaire au rampant du comble,' et il faut alors calculer la panne comme pièce déversée (fig. 359-11) .
Nous démontrerons d'abord le théorème général suivant :
(b) Théorème général des pièces déversées (fig. 360). — Enoncé. — « Lorsqu'une pièce horizontale, reposant sur « deux appuis de niveau, est soumise à un couple ou mo- « ment fléchissant dont le plan a pour trace sur la section « droite de la pièce une ligne droite ON, ne se confondant « pas avec un des axes principaux d'inertie, l'effort unitaire « maximum p développé dans la section est inversement « proportionnel au segment Of = X intercepté sur cette « trace, entre le centre O de l'ellipse d'inertie et la droite « a' (3' antipolaire, par rapport à l'ellipse d'inertie, du point P « du contour de la section qui est le plus éloigné de l'axe « de flexion OM, ou, plus simplement :
La résistance de la pièce est proportionnelle au plus petit des deux rayons vecteurs interceptés dans le noyau central par la trace du plan du couple de flexion.
Démonstration. — Soient OX et OY (fig. 360) les axes principaux d'inertie de la section, I, et ly les moments d'inertie par rapport à ces axes; soient aussi a' et b' les demi-axes de l'ellipse d'inertie, nous avons : I„ - lia'2 et lx = ab'2.
Soit y l'angle que fait la droite ON, trace du plan du couple fléchissant, avec l'axe OX; l'axe de flexion est OM, conjugué du diamètre ON dans l'ellipse d'inertie (v. n° 1-40-c). La fibre la plus fatiguée se trouve au point P pour lequel la tangente au contour de la section est parallèle à l'axe OM de flexion. Soient v et u, les coordonnées de ce point P par rapport aux axes OX et OY.
L'axe du couple fléchissant est Oa = M perpendiculaire à ON; on peut le décomposer en deux axes de couples 0[A, et 0|Jt;, dirigés suivant les axes OX et OY; ces axes de couples ont pour valeurs
0[ix = M,. = M sin y et 0[x„ — My — M cos y-
Le premier détermine autour de l'axe OX un infléchissement donnant lieu à un effort unitaire au point P dont la valeur p' est :
FERMES MÉTALLIQUES
M r Mv si n y
I, : v ah'*
L'autre détermine autour de OY un infléchissement donnant pour le point P un effort unitaire p" qui a pour expression
„ M„ Mvj cos 7 P ~ \„ : F4 ~~ Ua'2
Soit p l'effort unitaire total développé au point P; il est égal à la somme des efforts p' et p" ; on a donc :
M (v sin y «i cos v (1) *=P+P = n[-vr- + —
Soient a et p les pôles, par rapport à l'ellipse d'inertie, des droites PR et PS, la droite a(3 est la polaire du point P par
Fig. 360
Fi<r. 361
rapport à cette ellipse, et si l'on appelle a" et b" les distances 0« et Op, on a (v. Compl'. la théorie des polaires) :
a" = — et
M / sin y cos y
Q V b" é Prenons sur OM une longueur Of = l telle que
Donc,
cela posé
1 sin y cos y I = ~^~+ a"
il en résultera :
Cette relation montre que le point f est sur la droite a? (1).
La première forme de l'énoncé du théorème est donc démontrée. Je dis que la seconde l'est aussi. En effet :
Le point a étant le pôle de la ligne PR et p celui de la ligne PS, il en résulte que la droite <xp est la polaire du
(1) Cela résulte de ce que l'équation de la droite afi est, en géométrie analytique :
Or on a :
x == X cos -y et y — ^ sin y. Substituant ces valeurs dans (3), on retrouve précisément la relation (2).
point P; la droite qui lui est symétrique a'P' est donc l'antipolaire de ce même point P et le point f symétriquede f, situé sur cette antipolaire, est, par conséquent, l'antipôle de la tangente PQ menée au contour de la section et conjuguée, en direction, à la droite N//'.
Le point /' est donc bien le point du noyau central situé sur la trace NO du plan du couple. Ainsi donc l'effort unitaire p de la fibre dangereuse estinversement proportionnel à Of ou à son égal Of; comme, d'autre part, si l'on s'impose que cet effort unitaire soit égal à la résistance de sécurité R, la pièce pourra résister à un moment fléchissant d'autant plus grand que cet effort unitaire sera plus petit. Nous pouvons donc dire que :
La résistance d'une pièce déversée est proportionnelle au plus petit rayon vecteur Of, intercepté dans son noyau central par la trace du plan du couple fléchissant. C.Q.F.D.
Nota. — Pour les sections qui sont symétriques par rapport à leur centre de gravité 0, le noyau central est, lui aussi, symétrique, et l'on peut prendre le rayon vecteur Of au lieu de son prolongement Of .
Tel sera le cas des fers en double T, mais ce ne sera pas celui des fers en U ni des cornières.
376. Calcul de vérification d'une panne enfer double T laminée ou composite (fig. 301). — (a) Marche à suivre —
Dans le cas d'une panne double T, la fibre la plus fatiguée est toujours la fibre extrême D, située à l'angle de l'une quelconque des ailes. Pource point D, les distances Uj et v du cas général précédent sont v = l/2a et vt = 1/26 et les coordonnées a" et b" des points a et p qui sont les extrémités de la droite représentative de la résistance de la pièce, ont pour expression
et
b" = — • vQ
Ces points sont les sommets du noyau central et, de même que pour les pannes en bois à section rectangulaire, la droite représentative a(i est un des côtés du noyau central.
Pour vérifier une panne inclinée en fer double T, on peut donc procéder comme suit :
1° On dessine (fig. 361) cette panne à aussi grande échelle que possible, en la faisant reposer sur le rampant du toit TT'; on détermine les points a et fi extrémités de son noyau central, et l'on joint a et P par une droite.
2° On mène par le centre une droite ON parallèle aux charges (cette droite est inclinée si l'on tient compte du vent ; elle est verticale dans le cas contraire), et l'on mesure la longueur Of = X comprise entre le centre 0 et la droite «p.
3° En vertu de l'équation (2) du cas général précédent, laquelle peut s'écrire (l')pQX = M, on fait le produit RûX,
