CHARGES ROULANTES SUR

LES POUTRES EN TREILLIS

aux membrures MM, mais qui ne sont pas confondues avec elles. Les longerons reposent sur des poutres transversales dites pièces de pont (ou entretoises portantes) GG qui leur sont perpendiculaires et ces pièces de pont, à leur tour, viennent s'assembler dans la poutre maîtresse proprement dite, en des points A et B qui, généralement, sont situés sur l'une des membrures.

Lorsque la poutre est en treillis, cette attache se fait au droit d'un des nœuds du treillis.

Fi g. 385

Etudions ce dernier cas seulement.

La charge P donne, aux extrémités A' et B' du longeron, deux composantes Il0 et Ri que la pièce de pont transmet en A et en B sur les nœuds de la membrure.

Une section quelconque D de la poutre subit, de ce fait : 1° un moment fléchissant et 2° un effort tranchant qui ne sont pas les mêmes que si la charge P circulait directement sur la membrure.

C'est ce que nous allons établir et étudier.

(b) Moment fléchissant en un point. — Soit AB (fig. 386-1), la portion de membrure comprise entre deux nœuds consécutifs A et B.

Supposons que C soit la position de lacharge P sur le longeron. Proposons-nous de déterminer le moment fléchissant qu'elle produit sur un point D de la membrure.

Si la charge circulait sur la membrure elle-même nous avons vu (n° 273) que :

1° Si l'on traçait une parabole MVN ayant pour ordonnée maxima IV = 1/4 PI ;

2° Si l'on prenait en C le point de cette parabole situé au droit de la charge ;

3° En joignant CM et C'N, ces deux droites seraient les représentatives des moments fléchissants.

Prenons en a et en p les points où ces droites rencontrent les verticales des nœuds A et B. Les moments fléchissants de la poutre, au droit des nœuds A et B, ont pour valeur A<* et Bj3; et, comme la charge P est sur le longeron et non pas sur la membrure, il en résulte que, pour la poutre maîtresse, la représentative des moments entre les nœuds est la droite a(3 et non pas la ligne brisée aC'(3.

Par conséquent pour la section D le moment a pour valeur D8' au lieu de Do. C'est-à-dire qu'il est de 35' plus petit que si la charge circulait directement sur la membrure.

Et même, en prenant la section en C, au droit de la charge, le moment serait CC" au lieu de CC ;

Par conséquent nous avions raison de dire que le moment maximum ne se produit plus en C au-dessous de la charge, car il a lieu en B3 sur le nœud de droite.

Si la charge P arrivait en B, la représentative des moments serait B'A"M (fig. II) et si elle était en A, sa représentative serait A'B"N. C'est-à-dire que, dans chacun de ces deux cas, elle serait la même que si la charge circulait sur la membrure même. Il en serait de même si elle était en F, hors des nœuds; la représentative serait (fig. I).

(c) Point d'indifférence d'un entre-nœuds. — Prenons en k' (fig. II) le point où les deux droites B'M et A'N se coupent : Le point K de la poutre situé à plomb de k' sera nommé par nous le point d'indifférence pour la raison suivante :

Fig. 386

Pour un point J situé à droite de K le moment sera maximum, lorsque la charge sera sur le nœud de droite B, et il aura pour valeur JJ' ; pour un point L situé à gauche de K

STAB. 44

POUTRES EN TREILLIS

il sera maximum lorsque la charge sera sur le nœud de gauche et il aura pour valeur Ll.

En ce point K le moment maximum aura lieu indifféremment pour la charge placée sur le nœud de gauche ou sur celui de droite ; c'est ce qui justifie son titre.

Position du point oV indifférence. — Appelant p0 et p'0 les pentes des droites MB' et MA' ; pi et p\ celles des droites NB' et NA' ; rappelons que (V. n° 271) la somme des pentes Po + Pi est égale à la somme des pentes p'0 et p\ d'où l'on déduirait p'0 — p0 =pi — p\-

En vertu des triangles semblables A'KA" et B'KB" on a

AK iVA^ \M(p'(> — p0) AM ~KB ~ ÏÏ¥ ~ BWpl~p[) ~ BN" °nC :

Le point d'indifférence partage l'entre-nœud dans le même rapport que celui des distances de chacun des nœuds à l'extrémité de la poutre situé de son côté.

Si les portions de membrures sont égales, alors il suffit de compter les nombres de segments situés à gauche et de ceux situés à droite; par exemple s'il y a 3 segments à gauche de Pentre-nœuds AB et 5 situés à droite, le point d'indifférence partagera l'entre-nœud dans le rapport de

(d) Remarque (fig. II). — Si la charge était en K, au point d'indifférence, les représentatives des moments hors des nœuds seraient les droites K'M et K'N recoupant les verticales des nœuds en *' et p'; entre les nœuds la représentative serait la droite a'p' ; je dis qu'elle est horizontale.

Cela résulte évidemment de l'égalité de rapports précédente.

Cette remarque sera utilisée dans l'étude des efforts tranchants.

392. Efforts tranchants dus à une charge roulante unique. — L'effort tranchant est toujours donné par la pente de la représentative des moments ; par conséquent :

1° Si la charge est en F hors de la travée (ûg. 386-1), l'effort tranchant est le même que si la charge circulait sur la membrure au lieu de se déplacer sur les longerons ; il est donné par la pente de la ligne o^p, ; il est donc positif si la charge est à droite de l'entre-nœud et négatif si elle est à gauche.

2° Si la charge est en C sur le longeron d'entre-nœud, alors l'effort tranchant est donné par la pente de la droite ap; au lieu de l'être par les pentes des lignes aC' et C'p ; il est donc constant, plus petit, en valeur absolue, qu'il n'eût été et il ne change pas de signe au droit de la charge.

3° Si (fig. II) la charge est au droit du point d'indifférence, l'effort tranchant, donné par la pente de la représentative a'p' des moments, est nul, puisque cette représentative est horizontale.

4° Par conséquent, si la charge est à gauche du point d'in-

différence, l'effort tranchant est positif; si elle est à droite, l'effort tranchant est négatif.

5° Maxima. — Le maximum de l'effort tranchant pour un point quelconque J de l'entre-nœud a lieu lorsque la charge est sur un des nœuds. Il y a un maximum positif, si la charge est sur le nœud de droite, et un maximum négatif, si elle est sur le nœud de gauche.

Les maxima positifs l'emportent, en valeur absolue, sur les négatifs dans la moitié de gauche de la poutre ; c'est le contraire dans la moitié de droite.

392 h'\ Démonstration algébrique des théorèmes précédents (fig. 386bis).

(a) Moments fléchissants. — Soil a la distance du nœud A à l'appui de gauche ; 6 la longueur de l'entre-nœud AB. Soit P une charge appliquée en C à une distance x de l'origine M. La réaction X de l'appui M, due à la charge P, est

Cette charge P appliquée sur le longeron donne sur les nœuds A et B des composantes B0 et Ri qui ont pour valeur

Soit D un point quelconque de l'entre-nœud et T sa distance à l'origine ; calculons le moment fléchissant en ce point :

1er Cas. — La charge P est à gauche du nœud A; alors le moment a pour valeur

il-'!)-

Il est maximum pour x = a, c'est-à-dire lorsque la charge est sur le nœud A et il est alors égal a

(1) Mmax = y (/-T)-

La charge P est à droite du nœud B ; le moment a pour valeur

2e Cas.

Il est maximum pour x = a-hb, c'est-à-dire lorsque la charge est sur le nœud B et il a pour valeur

P(l — a — /Ay

(2) Mma* = -i -t '-■

3e Cas. — La charge P est entre les nœuds A et B ; le moment a pour valeur Xy — R0(y — a), ou, en remplaçant X et B0 par leurs valeurs cidessus et simplifiant,

Pa(« -H b — y) Px . ,

(3) M' = — i U + —W-la- T6).

Pour x = a et pour x = a -h b, c'est-à-dire lorsque la charge est au droit des nœuds, on verra facilement que les valeurs de ces moments sont les mêmes que celles (1) et (2) trouvées ci-dessus ; et comme l'équation (3) est du ltr degré en ,r elle représente une ligne droite, qui est la représentative a'P' de la figure 386.

Si l'on a yX — la — yfc > 0, le maximum, pour le point D d'abscisse y, aura lieu lorsqu'on aura x = a-hb, c'est-à-dire pour la charge placée en B.

Si l'on a yi — la — yb < 0, il aura lieu pour x — a, c'est-à-dire pour la charge placée en A.

Si l'on a yl — la — y& = 0, c'est-à-dire pour

il y aura égalité entre les deux maxima. Cette abscisse y est précisément celle trouvée ci-dessus pour le point d'indifférence K.

(b) Efforts tranchants. — 1er Cas. — La charge P est à gauche de A. L'effort tranchant est égal à la réaction X de l'appui M, diminuée de P P(l-x) Px

11 atteint sa valeur maxima pour x — a et cette valeur est