Application à une poutre en V

(a) Tension maxima des membrures. Nous avons vu (v. n° 388-c-l0) que pour calculer la tension d'un segment de membrure, on prenait le moment fléchissant répondant au nœud qui est opposé à cette membrure et, si M est ce moment, si h est la distance de la membrure à ce nœud (c'est ici la hauteur de la poutre), la tension F de la membrure doit développer par rapport au nœud un moment de réaction égal et opposé au moment fléchissant, ce qui donne

Il résulte de là que pour calculer la tension maxima qu'une membrure peut avoir à supporter par le fait d'une charge unique qui circule sur les longerons, il faut :

1° Abaisser du nœud opposé une perpendiculaire sur cette membrure, prendre son pied I et mesurer la longueur h.

2° Chercher la position de la charge qui donnera le plus grand moment Mmax au point I ; et calculer ce moment

Mmax •

3° La tension maxima Fraax de la membrure, aura pour valeur

Mmax r max — — ; — •

Prenons une poutre Warren, et supposons qu'une charge

roulante unique circule sur des longerons rattachés à la membrure supérieure (fig. 387).

Membrure basse. — Pour avoir les tensions du tronçon de membrure basse (<x(3 par exemple), il faut prendre le moment maximum développé par la charge sur le nœud opposé A; on sait qu'il se produit au moment où la charge passe sur ce nœud; et ensuite appliquer la formule précédente.

On voit donc que pour les semelles inférieures les maxima seront les mêmes que si la charge circulait sur la membrure haute.

Membrure haute. — Pour un segment quelconque, AB par exemple, de cette membrure haute, il faut prendre le moment maximum développé au droit du nœud opposé p.

Cette fois il ne se produit plus lorsque la charge passe à plomb de p mais lorsque la charge est sur le nœud de droite B, puisque le tronçon est sur la moitié de gauche de la poutre; ce maximum est plus petit que celui qui se produirait si la charge circulait sur la membrure au lieu de se mouvoir sur les longerons.

On est dans l'habitude de calculer la tension de membrure en se servant du plus grand des deux. En opérant ainsi on commet une erreur représentée par I'I" (fig. 387).

Dans cette figure, MVN est la parabole représentative des moments maxima que produirait la charge en roulant

sur la membrure et II' serait le moment au-dessus du nœud p. Avec un longeron et une pièce de pont le moment maximum a lieu pour le nœud inférieur p lorsque la charge est sur le nœud supérieur de droite B. La représentative des moments est la corde B'M et le moment sur le nœud p est mesuré alors par II".

L'erreur commise, par excès, en prenant II' est donc I'I"; elle est assez faible et d'autant plus faible 1° que le segment AB sera plus voisin de l'une des extrémités et 2° qu'il sera

POUTRES EN TREILLIS

plus petit, c'est-à-dire que les nœuds seront plus nombreux (1).

(b) Tensions maxima des barres. — Nous avons vu (n° 388-C-20) que la tension d'une barre s'obtient en prenant l'effort tranchant au nœud (p par exemple) auquel aboutit cette barre et en exprimant que la projection de cette tension sur une verticale est égale à l'effort tranchant développé au droit de ce nœud. Cela posé, revenons à l'épure (fig. 388.)

(c) Explication de l'épure (fig. 388-1 et II). — I. Tensions des membrures. — On a construit par la méthode Collignon, en M,6N, (fig. II) la parabole représentative des moments maxima que développerait la charge si elle roulait sur la membrure.

On sait que l'ordonnée du sommet, wô, est prise égale à 1/2 P, à l'échelle des forces, ce qui, avec la distance polaire d = 1/2/ du funiculaire Collignon, donne un moment maximum wb = 1/2 P X 1/2/ = 1/4P/.

Nous admettons que cette parabole nous donne les moments maxima au droit de chaque nœud. Nous avons vu que pour les nœuds du haut c'est exact, mais que pour ceux du bas nous commettons une erreur par excès que nous avons appris à mesurer (v. 391-6).

Par conséquent, les membrures basses, lesquelles dépendent des nœuds du haut, seront calculées juste; mais les membrures hautes, lesquelles dépendent des nœuds du bas, seront un peu trop fortes, ce qui sera sans danger. Cela posé, nous avons opéré comme il a été expliqué au n° 388 :

1° Nous avons porté wl = h (hauteur de la poutre) et nous avons tracé l'oblique des tensions de membrure M^D.

2° Pour avoir la tension d'une membrure basse, ap par exemple, opposée à A, nous avons pris en A,a, l'ordonnée de la parabole située au droit du nœud opposé A; nous avons mené l'horizontale aiaa2 et la longueur et^, interceptée entre la verticale d'origine, et l'oblique des tensions de membrure, nous a donné exactement la tension cherchée.

3° Pour avoir la tension d'une membrure haute, AB par exemple, opposée au nœud bas p, nous avons pris en (3^ l'ordonnée de la parabole et l'horizontale menée par p2 nous a donné entre la verticale d'origine et l'oblique MjD la tension cherchée, avec un léger excès.

(1) Avec le* notations de la figure :}86bis, on a :

d'où

p 7 b\ . IT l n=tll\a+T) Ct W= 2(l-a-b)=Zs est l'erreur relative commise; si l'on pose l = nb et a — n'b, on a 1

IL Tensions des barres (relire les nos 278-279 et 280j. — 0 se souvient que si l'on prend l'ordonnée à l'origine Mtm égale à la charge P et que si l'on joint mNi, cette oblique est la représentative des efforts tranchants positifs maxima que développerait la charge en roulant sur la membrure, tandis que Mjn, situé au-dessous, est la représentative des efforts tranchants négatifs. On se souvient aussi que l'effort tranchant positif maximum se développe en un point à l'instant où la charge, venant de la gauche, va atteindre ce point et le touche, tandis que l'effort tranchant négatif s'y développe à l'instant où la charge vient de le dépasser. Cela posé :

Les tensions des barres obliques Ap et PB comprises dans l'intervalle AB se déterminent au moyen de l'effort tranchant dans l'intervalle AB. Nous avons vu que l'effort tranchant positif maximum se produit lorsque la charge est au point B; il est donné sur l'épure en B{b ; l'effort tranchant négatif maximum a lieu lorsque la charge est en A; sa valeur est Aia, ; enfin lorsque la charge passe au point d'indifférence K, déterminé comme il a été dit plus haut, l'effort tranchant est nul, et par suite, à cet instant, les tensions dans les barres Ap et PB sont nulles.

Considérons la barre Ap : la tension qu'elle subit varie entre la compression fatl} lorsque la charge est en A, et la traction j3,s lorsque la charge est en B, en passant par la valeur zéro, quand la charge est en K. De même, la barre PB subit des tensions variant entre la traction p,n, quand la charge est en A et la compression p^ quand la charge est en B, etpassantparla valeur zéro quand la charge est en K.

Les barres yC et yB, symétriques des précédentes, par rapport à l'axe de la poutre subissent des tensions extrêmes égales à celles des barres Ap et PB; l'étude pourrait donc n'être faite que pour la moitié de la poutre.

En résumé, les tensions des barres comprises dans un intervalle AB seront déterminées par l'effort tranchant positif maximum à l'extrémité de droite de l'intervalle et par l'effort tranchant négatif à son extrémité de gauche, ces efforts tranchants étant les mêmes que dans une poutre à âme pleine.

Remarque. — Si la charge était sur la semelle inférieure, les tensions dans les barres obliques se détermineraient de la même manière, ainsi que celles des membrures ; seulement on trouverait des dimensions un peu trop fortes pour la membrure basse, qui est tirée, au lieu que ce soit pour la membrure haute.

394. Application à une poutre en N (Système Howe) (fig. 389-1 et II). — La charge mobile unique placée sur la semelle supérieure est égale à M, m ; nous avons construit en M,PiN, la représentative des moments fléchissants maxima et en mNi et Mtn celles des efforts tranchants maxima.