DÉFIGURATION DES PIÈCES COUIIBES

négatifs, qui en donnant au sommier D des écarts en sens inverse du précédent, arriveraient à détruire celui qui vient d'être trouvé.

C'est pourquoi, maintenant que nous savons trouver les effets produits sur une poutre courbe par des moments de charge (positifs), il faut apprendre à déterminer les effets produits sur elle par des moments de poussée négatifs et par des moments d'encastrement négatifs ou positifs.

417 bis Digression relative aux échelles. — Les épures qui vont suivre ne seront pas de simples croquis théoriques mais de réels tracés de statique graphique. La question des échelles à adopter est toujours très embarrassante pour les débutants. Cette note a pour but de l'éclaircir ; les échelles de la fig. 420 ont été établies d'après les principes que nous allons exposer.

(a) Unités. — On prendra :

Le mètre (m) pour unité de longueur; Le kilogramme (k) pour unité de poids;

Le kilogrammomètre (km) (produit de une force égale à 1 kilo par un bras de levier égal à 1 mètre) pour unité de moment. La tonne-mètre (tm) serait le produit de lOOu kilos par 1 mètre.

Le module d'élasticité E et la résistance de sécurité R seront rapportés au mètre carré ; dans le fer et l'acier on aura

Fer. E = 20000 X 106 et R= 6xl06. Acier. E = 22000 X 106 et R = 10 X 106.

(b) Distances polaires et bases de réduction. — d sera le nombre de mètres qui mesurera la première distance polaire, celle qui sert pour la construction des funiculaires de moments fléchissants naturels, M. d' sera le nombre de mètres qui mesurera la base de réduction à l'aide de laquelle on transforme les aires de moments (naturels, dilatés ou eïfiés) en forces fictives d'équivalence. On sait que pour faire cette transformation, si f est la force fictive d'équivalence et « la surface à transformer en cette force on doit avoir

fx d' = (o d'où f = iù : d'.

d" sera le nombre de mètres qui mesurera la seconde distance polaire, celle qui sert pour construire, sur les forces d'équivalence des aires de moments eïfiés, les funiculaires qui doivent faire connaître les pentes et les coordonnées de l'élastiquc-épurc.

(c) Longueurs d'échelle. — 1° Longueurs et forées. — Appelons Nm la longueur vraie en mètre ou fraction de mètre qui doit représenter 1 mètre dans l'espace ;

la longueur vraie qui doit représenter 1 kilogramme;

N/i-m la longueur vraie qui doit représenter 1 kilogrammomètre naturel km ou dilaté km : cos e ;

Nfcei la longueur vraie qui doit représenter 1 kilogrammomètre eïfié km : El;

Nfti la longueur vraie qui, pour les poutres homogènes, (E constant) représenterait 1 kilogrammomètre divisé par I, ou km : F;

Ne la longueur vraie qui doit représenter 1 mètre de défiguration élastique linéaire.

Par exemple si l'on dit : L'épure sera exécutée à l'échelle de 0m,02 pour mètre, on aura Nm = 0m,02cm. Si l'ou dit : Les forces seront dessinées à l'échelle de 5 millimètres par tonne, c'est-à-dire à 5 millimètres pour 1000k, on aura

Nf = 0",O05 : 1000 = 0m,000003.

2° Moments naturels. — On peut choisir tout à fait arbitrairement les deux longueurs d'échelle qui précèdent Nm et IN/-, mais la lougueur d'échelle Njcm qui convient aux kilogrammètres, non eïfiés, est une conséquence des deux longueurs d'échelle qui précèdent et de la première distance polaire (/.

En effet, on se souvient que la règle, pour apprécier des momenls naturels, est la suivaute : « On mesure les ordonnées du funiculaire à l'échelle des « forces, ce qui donne un certain nombre de kilos ; et ce nombre multiplié « par le nombre de mètres de la distance polaire, donne le nombre de kilo- « grammomètres. »

Par conséquent si l'on mesure lk à l'échelle des forces, c'est-à-dire si le compas est ouvert à la longueur vraie N/, il faudra lire d kilogrammomètres, c'est-à-dire la même chose que si l'ouverture de coin pu « ;i\ail compris il fois la longueur >'/,,„ qui représente 1 km ; on aura donc :

N/- = Nftm X d d'où Nftm = Vf : d.

Exemple : l'échelle des forces est de ,0000025 pour lu et la distance

polaire d est de 8 mètres ; on aura

Nfcm = 0,0000025 : 8 = 0™ ,00000031.

Si pour avoir moins de décimales on compte par tonne et par tonne-mètres on dira :

L'échelle des forces étant de 0m,0025 par tonne l'échelle des moments naturels est de 0,00031 par tonne-mètre, soit 0m,031 millimètres pour 100 tonne-mètres.

3° Moments eïfiés. M : El. — Les moments eïfiés sont des expressions du degré zéro ; ce sont des nombres, en général très petits pour les métaux ; voyous à peu près les limites entre lesquelles ces nombres se présenteront dans les applications.

Si le constructeur est habile la pièce s'approchera d'être d'égale résistance ; cela veut dire que, pour toutes les seclious, la formule d'équarrissage sera observée ou à très peu près ; ce qui donnera

7T ~ v ËT — ~Ëv'

Pour le fer on a : R = 6k X 106 et E = 20000 X 106; d'où M 0,0003 ËT " v

Admettons des valeurs de v comprises entre 0m,20 et lm,00, ce qui répondrait à des hauteurs de sections comprises entre 0m,40 et 2m,00 ; nous aurons les nombres du tableau suivant :

lm,00

"ËT "

Les M : 1 pourront s'employer au lieu de M : El lorsque les pièces seront homogènes (E constant). Les nombres M : I sont alors très grands. Si on fait l'épure en se servant d'eux il est euteudu que les défiguralions élastiques devront avoir leurs longueurs divisées par le module d'élastique E.

Nous conseillons d'adopter les valeurs suivantes : Nfcei = 20m pr (M : El) = 1,00 ; soit 0™,02 pr (M : El) = 0,001.

Dans le cas où le facteur E n'entrerait pas, cela donnerait en multipliant par E = 20.000 X 106,

20"' p» M : I = 20.000 X 10s, soit 0»01 p» M : I = 10 millions.

4° Défigurations élastiques. — On sait que les aires des momenls ciliés doivent être transformées en forces fictives d'équivalence, à l'aide d'une buse de réduction mesurée en mètres par le nombre d' ; ce qui veut dire que, une fois la transformation faite, la force fictive qui aurait Nfcei de longueur et qui se lirait 1, en moments eïfiés, représentera en surface de moments eïfiés 1 X d' et par conséquent devrait se lire d', en forces fictives d'équivalence.

Ensuite lorsque, sur les forces fictives, on construit le funiculaire de distance polaire d", on sait que les moments fictifs ainsi trouvés devront se mesurer à l'échelle des forces qui y sont entrées (ici les forces fictives), cl le nombre ainsi trouvé être multiplié par le nombre d" pour représenter les défigurations élastiques. Par conséquent la longueur Nfei qui se lisait 1 en moments eïfiés, représentera d' en forces fictives de surface de ces moments et d' Xd", en longueurs de défigurations élastiques. Si donc lm de défiguration est traduit par une longueur vraie égale à Ne, une défiguration qui sur l'épure apparaîtrait avec la longueur vraie Nftet, et qui se serait lue 1, en moments ciliés, devra se lire, eu mètres, d' Xd", c'est-à-dire comprendre d'd" fois Ne; on aura donc

Nta' = d' X d" X Ne

d'où

Exemple : (fig. 420), page 316. — Un moment eïfié égal k 1 étant représenté par 20m (Nte' = 20), la base de réduction d' des aires de moments eïfiés étant égale à 8m et la dernière distance polaire d" étant égale à 8m, par quelle longueur, Ne, devra-t-on représenter 1 mètre de défïguratinu élastique ?

Ne = =f = 0,312.

Les défiguratious seront représentées à l'échelle de ii'",312 pour 1 mètre, c'est-à-dire plus petites que nature.

Nota. Si l'on voulait que l'épure les donnât eu vraie grandeur, ou devrait prendre Nfei = d'Xd", c'est-à-dire ici G4m.

Résumons tout cela sous forme de règle.

THÉORIE DES ARCS

Fig. 420 — Echelles des fig. 421 et suivantes.

* Longueurs

'Forces.

Moments naturels (<i=8m) "Moments déformés-eïfiés. .

Elastiques ? d- = 8m , • •

Nm == 0«\005 p'- 1".

N/ = 0°> ,000004 pr 1 k. (0,04 pr 10 Tonnes.) N*m=Tty : d=0» ,000005 pr 1 km (0,005 pr 10 Tonne Nac; = 20"» (0n\02 pr M. : El cos s = 0,001.)

Ne =

p- = 0m,312 pour 1'

o,ooi

i /Hêtres

i Tor.

■ Kei.

Nota. — Le signe * indique que ces échelles sont arbitraires. Les autres sont une conséquence des premières et des distances d, d' d".

(d) Règles. — 1° Njh étant la longueur d'échelle qui, sur l'épure, représente lm dans l'espace,

N/- étant la longueur d'échelle qui représente une force réelle de 1 kilogramme ;

d étaut le nombre de mètres de la distance polaire qui sert à passer, par un funiculaire, des forces réelles aux moments naturels.

Règle «M. - La longueur d'échelle qui représentera 1 kilogrammomètre sera

Nfo„ =

2° Nfoji étant la longueur, arbitraire d'ailleurs, qui représente une unité de moment cl'fié (M : El = 1, on conseille de prendre Nftri = 20m) ;

d' étant le nombre de mètres de la base de réduction qui sert à transformer en forces fictives les aires de moments eïfiés ;

d" étant le nombre de mètres de la distance polaire qui sert à passer, par un funiculaire, des forces fictives précédentes aux défigurations élastiques.

Règle n° 2. — La longueur d'échelle qui représentera un mètre de défiguration élastique sera

Nftei Ne = -r,-

d xd

Dans le cas où la pièce est homogène (E constant), la règle n° 2 se modifie comme suit :

Nfci étant la longueur, arbitraire d'ailleurs, qui représente une valeur M : 1=1 (on conseille de prendre Nt; = 0,000000001, c'est-à-dire 0"> ,01 pour M : 1 = 10.000.000 soit 10 millions), on aura :

Règle no 2 bis. Ne = g^xT

§3. — Constantes d'un arc

418. Position de la question. — Stabili-centres.— Nous prendrons un arc à l'état de poutre courbe et nous l'étudierons en le soumettant aux conditions suivantes :

1° On appliquera un moment unitaire n0 sur son sommier d'origine, l'autre restant libre, ce qui donnera le triangle unitaire de gauche.

2° On appliquera le même moment unitaire \it = |a« sur le sommier d'extrémité, l'autre restant libre, ce qui donnera le triangle unitaire de droite.

3° (Conséquence des deux premières études). On appliquera le même moment \i = pi = n„ à la fois sur les deux sommiers, ce qui le fera régner uniformément sur toute la pièce et donnera le rectangle unitaire.

4° On appliquera une poussée unitaire 9.

Dans chacun de ces cas, et particulièrement dans le 1", le 2e et le 4e, on déterminera les déformations élastiques prises par la poutre courbe et, particulièrement :

1° La déviation angulaire initiale a0;

2° La déviation angulaire finale a,;

3° L'écart X des sommiers;

4° Le centre de gravité (par son abscisse y et par son ordonnée 5) des courbes à cheval (moments déforméseïfiés) qui en résultent.

Nous adopterons les notations suivantes, dans lesquelles la petite lettre, prise en exposant, indiquera la cause de la déflguration :

(a) Pour le moment fjt0, appliqué à l'origine,

a£0 sera la déviation angulaire à l'origine.

a'Jvo sera la déviation angulaire à l'extrémité, sera l'écart pris par les sommiers.

Y^o et o''o seront les coordonnées du centre de gravité I de sa courbe à cheval (triangle Q). Ce centre de gravité I sera le Stabili-centre d'encastrement à l'origine.

Telles seront les cinq constantes d'encastrement d'origine.

(b) Pour le moment n, appliqué à l'extrémité : agi sera la déviation angulaire à l'origine.

sera la déviation angulaire à l'extrémité.

AT* sera l'écart pris par les sommiers.

Y^i, 8^, seront les coordonnées du centre de gravité J de sa courbe à cheval (triangle *). Ce centre de gravité J sera le Stabili-centre d'encastrement à l'extrémité.

Telles seront les cinq constantes d'encastrement d'extrémités.

«ç, af, 1» avec ^ et 8*,

{d) Pour la poussée unitaire 6, elles seront

a», a», X" avec f et 8\

Elles constitueront les cinq constantes de poussée.

Le centre de gravité de la courbe à cheval correspondante sera le stabili-centre de poussée, et nous le désignerons par la lettre T.

Si au lieu d'appliquer les moments unitaires n0, \h et la poussée unitaire 6, nous appliquons des moments Mo, Mt quelconques et une poussée quelconque t, alors tous les effets ci-dessus trouvés devront être multipliés par les

CONSTANTES D'UN AKO

rapports

11, et —

Quant aux coordonnées des centres de gravité des courbes à cheval correspondantes, nous avons vu qu'elles ne changeront pas.

Les constantes d'un arc seront les quantités trouvées cidessus; au nombre de cinq pour chacun des cas étudiés, soit en tout quinze constantes (car le 3° cas, avec n constant, n'est pas directement utile).

Maintenant, si des charges P quelconques, fixes ou mobiles, agissent sur la pièce, elles développeront des moments fléchissants qui, la pièce étant encore poutre-courbe, lui feraientprendre une élastique déterminée laquelle posséderait une déviation angulaire initiale «/, une déviation angulaire finale V et un écart de sommier 1>'; à ces charges répondra aussi une courbe à cheval possédant un centre de gravité ; nous le nommerons le stabili-centre de charge; nous le désignerons par la lettre P, et ses coordonnées seront ■('' et 8^; elles varieront avec les charges.

Nous calculerons, ou nous construirons graphiquement, toutes ces quantités et nous verrons comment, en appliquante théorème général de la stabilité des arcs (v.n° 416-e), on pourra, en combinant les constantes de l'arc, avec les données de charges, trouver, dans tous les cas possibles, la poussée, les moments d'encastrement (s'il y a encastrement), et les déviations angulaires aux sommiers (si ces sommiers sont à rotule). Tout d'abord apprenons à calculer ou à construire les constantes précédentes et, pour être mieux compris, prenons un exemple numérique.

419. Rectangle unitaire déformé-eïfié ( fig. 421. — Echelles, fig. 420). — Nous serons très bref dans nos explications, parce que nous avons donné aux nos 413 et 416 bis tous les détails voulus sur la déformation, sur l'eïlication et sur les échelles.

(a) Eïfication et déformation. — La fibre neutre del6m de portée est donnée en OTD (fig. I). Elle est reproduite, renversée (fig. VI) ; sa corde a été divisée en un nombre pair de parties égales (ce nombre doit être un multiple de quatre, v. n° 182), et on ne considérera, par la suite, que les ordonnées de rang impair, 1, 3, 5, 7, qui sont les bases moyennes des trapèzes suivant lesquels la surface serait divisée par les ordonnées de rang pair.

Un moment unitaire, jj. = 100 tonnemètres, lui est appliqué sur toute sa longueur ; sa représentative est l'horizontale w dessinée à l'échelle des moments naturels. Les moments d'inertie aux diverses sections sont supposés connus ; nous admettons que l'on a :

Le module d'élasticité est E = 20000 X 10fi ; on fait pour chaque section le quotient n : El, ou 100000km : El, ce qui donne pour les moments eïfiés les nombres : (Section 1), 0,001792 — (Section 3), 0,000957 ; (Section 5), 0,001182; — (Section 7), 0,001577, que nous avons portés, à l'échelle des moments eïfiés, en 1-1', 3-3', 5-5', 7-7' (fig. VI).

Cette courbe O'D' des moments eïfiés \l : El, dessinée en pointillé, a été ensuite déformée (comme il est dit au n° 413), en prenant pour déformatrice la fibre neutre ; ce qui nous a donné en 0", 1", 3", 5", 7", D" la courbe des moments [x déformés-eïfiés (1).

(b) Funiculaire des hauteurs. — La corde a été divisée en8 parties égales. (Dans lapratique, il faudrait diviser en un bien plus grand nombre de parties, quoique toujours en un multiple de 4.)

Nous avons pris pour base de réduction d', la demi-portée (d' = 8m), et dans ce cas nous avons vu (v. n° 182) que les forces fictives d'équivalence doivent être prises égales à la moitié des ordonnées de rang impair. (Si on avait divisé en 12, elles eussent été le 1/3; en 16, elles eussent été le 1/4, etc.) Et ces forces fictives /",, f3, /!, sont supposées appliquées (fig. I) aux points 1, 3, 5, 7 de la fibre neutre.

La courbe à cheval pourrait se tracer (on la voit en pointillé fig. I), mais il n'y a aucune utilité à le faire, car ce sont les forces fictives fu f3, f1 qui nous importent et non pas la courbe à cheval elle-même.

Sur ces forces fictives nous construisons, fig. II, un funiculaire Collignon (distance polaire d" — 1/2 L = 8m). L'épure préparatoire de ce funiculaire se voit fig. V. Elle est faite comme il a été dit au n» 196, comme suit :

Epure préparatoire. — Le pôle est pris à l'extrémité D, et non pas au milieu, ce qui donne pour distance polaire L, au lieu de 1/2L. Mais, par contre, nous avons porté en F,, F3, F5, F7 le double des forces fictives. Dans ces conditions, les segments marqués a<>, b0, c„, d„ sont ceux à porter (fig. II) sur la verticale d'origine, tandis que les segments complémentaires, d{ — cu b^ — a,, sont ceux à porter sur la verticale d'extrémité. Et il y a intérêt à les porter tous, afin d'avoir, avec une grande précision, le côté initial Oa' et le côté final Da', dont la rencontre en a' donne la verticale, c'est-à-dire l'abscisse y!\ du centre de gravité n de la courbe à cheval u.

(1) Remarquons de suite, pour ue plu3 y revenir, que les arcs en métal seront presque toujours formés de fers composites et que les semelles varieront brusquement en certains points; par conséquent, le moment d'inertie I ne variera pas progressivement , mais brusquement, lui aussi ; la courbe finale |J."0[J."i, des moments déformés-eïfiés, au lieu d'être une courbe continue, comme sur notre croquis, se composera donc d'une série de dentelures analogues à celles de la fig. 1S6 (v. n° I94-&), et il eu sera de même pour les courbes à cheval correspondantes.

STAB. -18

THÉORIE DES ARCS

Fig. 421

Voir les échelles fi y. 420, page 3 7(>.

Erratum : Sur la flg. VII, un trait lin doit réunir le point C\> et le point I"; la ligne 5-7, située à droite, doit supprimée et remplacée par une autre ligne qui réunirait le point 5 au point où la droite OJ" rencontrerait l'I zontale 7-7 (v. la figure rectifiée à l'Erratum général.)