DÉFIGURATION DES PIÈCES COURBES

a égales aux déplacements verticaux des points correspon- « dants de l'arc. » (I) L'épure se fera comme suit (ûg. 419-1 et II).

IA) Cette poutre se nomme la Poutre droite correspondante a l'arc.

Au lieu de dire qu'elle possède en chaque point le même moment d'inertie I que le point de l'arc situé au-dessus d'elle, et qu'elle est soumise aux moments fléchissants déformés (M : cos s), on pourrait encore dire qu'elle subit les mêmes moments fléchissants M, mais que ses moments d'inertie 1' sont égaux à ceux de l'arc dilatés dans le rapport, cos s : 1 ; on aura donc pour cette poutre droite correspondante Y = Ixcos s ; le produit M : I cos £ sera le même dans les deux cas.

Préliminaires. — Soit OABCD la fibre neutre primitive.

Admettons : 1° que nous avons calculé, puis construit, la courbe des moments déformés-éïfiés dite courbe V; 2° que nous avons divisé cette courbe V en tranches verticales et, adoptant une base de réduction comme nous l'avons expliqué souvent, que nous avons remplacé les poids fictifs de chaque tranche par des forces d'équivalence fu f2> f3,..-. appliquées aux centres de gravité A, B, C,... des tranches, ces points A, B, C,... étant situés sur la fibre neutre.

Fig. 419

Pour ne pas compliquer la figure nous n'avons pas laissé de traces des constructions qui précèdent ; acceptons en fu /a, fa,- ■ les forces fictives qu'elles eussent données.

Ces forces fh /s,... sont dirigées positivement parce que

nous supposons que les moments sont positifs ; mais si sur certaines parties de la pièce ils eussent été négatifs, ce qui arrivera toujours pour les arcs, il eût fallu diriger négativement les forces fictives correspondantes. Cela posé :

THEORIE DES ARCS

Epure. — Nous construisons (fig. II) un funiculaire sur ces forces verticales. Nous l'avons établi en O'A'R'C. C. D, par la méthode Collignon, à cause de ses avantages. Rappelons les points suivants de cette méthode :

1° La distance polaire est d = 1/2L.

2° Le côté initial O'a0 prolongé jusqu'au point a0 où il recoupe la verticale milieu, donne en l'a0 la réaction du point 0, c'est-à-dire (à l'échelle du funiculaire) la déviation initiale a0 de l'élastique.

3° Le côté final, prolongé de même, jusqu'à la verticale milieu, donne en l'a, la réaction au point D ; c'est-à-dire la déviation finale a, de l'élastique ;

4° Si l'on construisait (fig. III), avec les forces fu /'2, f3, . . . , un dynamique ordinaire ayant pour distance polaire d = 1/2 L tous ses rayons polaires 1, 2, 3, 6 seraient parallèles aux côtés du funiculaire Collignon.

Cela posé :

Les déplacements verticaux sont donnés par les ordonnées rt'A', //fi', c'C, du funiculaire (fig. II) et les déviations angulaires sont données par les pentes des côtés de ce funiculaire.

{b) Funiculaire des largeurs, dit: Funiculaire orthogonal. — On obtiendra les déplacements horizontaux de la manière suivante (fig. 419-V).

1° On imagine que l'on ait fait pivoter les forces fu f2, f3, (fig. I) autour de leurs points d'application, jusqu'à ce qu'elles soient devenues en f'u f\, f3, f\, parallèles à la ligne d'appui, c'est-à-dire perpendiculaires à leur direction première et dans le sens positif des rotations ;

2° Partant du pied 0" d'une verticale quelconque 0"Y" (fig. V) on construit en 0"A"B"C"...D"... un funiculaire qui s'appuie sur les horizontales précédentes et dont les côtés 0, 1, 2, 3, 6 sont perpendiculaires aux côtés numérotés de même du funiculaire des déplacements verticaux.

Ce sera le funiculaire orthogonal.

Je dis que les abscisses a" A" — b"B" — c"C" ... et 0"D" du funiculaire orthogonal sont les déplacements horizontaux répondant à la formule

Cette formule exprimant que le déplacement horizontal a d'un point quelconque de la fibre neutre de la pièce est égal à la somme des moments, par rapport à ce point, de toutes les forces horizontales /i', f2', etc., appliquées aux points qui le précèdent en y comprenant la réaction ou déviation angulaire initiale ( — a0) changée de signe.

En effet : reproduisons (fig. IV), mais seulement pour la démonstration, le dynamique de la fig. III après l'avoir, lui aussi, fait tourner de un angle droit dans le sens positif. Les rayons polaires 0', 1', 2', ... sont maintenant parallèles aux côtés 0"A" — A"B" ... etc., du funiculaire (fig. V) que nous venons de tracer. Sur ce dynamique (fig. IV) la réac-

tion d'appui a0 est donnée par la ligne JiS', et en la prenant en sens contraire on aura — ■ c*0. que nous imaginerons appliquée horizontalement au sommier 0 de la fig. I.

Pour le premier point A A", le triangle rectangle 0"A"a! de la fig. V est semblable au triangle rectangle LS'Ji du dynamique orthogonal fig. IV, et l'on en déduit 0"a, Vo,

s'jT ~l~l '

mais S'Ji = — a0, A'a, = y, et I, Jt = d (distance polaire), donc :

0"fl, X d = -— a0y,

O"^ est donc bien, au coefficient d'échelle près d, le moment de la force — a0 par rapport au point A. Pour le second point B, B" on aura : b"B" = 0"a, -+- A"6,. Or le triangle rectangle B"A."bt de la fig. V est semblable au triangle rectangle L/i-Ji du dynamique (tig. IV) et on en déduit de même :

A%Xd= flXWh.

Ce qui exprime que A"6, est, au coefficient d'échelle près rf,le moment de la force fî par rapport au point B. Donc l'abscisse b"B" est, au coefficient d'échelle près d, égale à la somme des moments par rapport au point B des forces — a0 .et fi qui le précèdent.

On raisonnera de même pour les autres points, le tracé est donc justifié. C. Q. F. D.

Nousnommeronsindifféremment cette figure Vie funiculaire des largeurs ou, d'après son mode de tracé, le funiculaire orthogonal.

(c) Remarques. (I). — Le côté initial 0"A" et le côté final E"D" de ce funiculaire se rencontrent en un point G" qui fait connaître l'ordonnée 0 du centre G des forces fu f*, f3, c'est-à-dire, en réalité, delà courbe à cheval.

De même, la rencontre G du côté initial et du côté final du premier funiculaire (fig. II) fait connaître l'abscisse f de ce même centre de gravité. Le centre de gravité G est donc déterminé.

(II). L'écart, ou déplacement horizontal du sommier D, d'extrémité, est mesuré (fig. V) par l'abscisse 0"D" ; ce qui prouve, en passant, que nous sommes très loin, avec les conditions de moments fléchissants dont les forces fitf3, f3, ... sont les traductions, d'avoir à faire à un arc.

Si la température produisait son effet, le sommier D s'écarterait davantage encore et en prenant (fig. V) D"D " égal à ■zL : d (d étant la distance polaire), nous aurions à l'échelle de l'épure, en 0"D"' le mouvement total, pris par le sommier D.

Nous avons, en réalité, une poutre courbe, parce que les moments sont tous positifs ; ce n'étaient que des moments de charge, ou d'encastrement. Pour en faire un arc, il faudrait soit par une poussée simple, soit par une poussée combinée avec des encastrements, développer des moments