ARC A TROIS ROTULES
~~ en
Echelles
Longueurs 0m.003 pour 1 mètre. | Forces 0m,003 pour 1 tonne. | Surfaces des sections (lîg. IV) 0^,0002 pour l cent2.
APPLICATIONS
II en résulte I : v = Qb.
La formule de l'effort fibraire maximum devient alors :
N M ^ ~~ 15 Hb '
d'où l'on tire en faisant // = Il résistance de sécurité
On connaît dans chaque section M, N et b ; par suite, on pourra trouver Q et dresser un tableau des valeurs ainsi obtenues pour les différentes sections.
Nous allons voir tout-à-l'heure que la section de l'arc ne doit pas être symétrique; l'une des tables, la table inférieure, aura une surface plus grande que Q, l'autre, la table supérieure, aura une surface plus petite .
On formera alors des tables donnant un corps de poutre répondant à la plus petite section trouvée; des semelles supplémentaires réparties par un procédé graphique analogue à celui que nous avons employé dans le cas des poutres droites (v. n° 257) permettront d'obtenir en chaque point la section calculée.
(b) Projet définitif. — De l'étude qui vient d'être faite de l' avant-projet résulteront des dimensions provisoires à donner aux différentes parties de l'arc, et, par suite, des poids qui nous permettront de corriger les charges propres adoptées au début. Une nouvelle épure fournira des valeurs nouvelles pour les moments fléchissants, pour les pressions normales et pour les efforts tranchants, valeurs au moyen desquelles nous calculerons les sections à donner à l'arc en ses différents points ; elles devront différer peu des sections d'avant-projet. Si nous les considérons comme définitives nous calculerons, mais alors exactement, dans chaque section de l'arc les valeurs de la surface 2Q et du moment, d'inertie I, et nous appliquerons les formules exactes de l'effort libraire pour la fibre la plus comprimée, et pour la libre la moins comprimée, qui pourra même, dans certains cas, être tirée.
En aucun point, l'effort fibraire ne devra dépasser la résistance de sécurité.
(c) Dissymétrie à apporter aux semelles. — Soit p l'effort unitaire supporté par la libre la plus comprimée, et p" celui supporté par la fibre la moins comprimée, laquelle peut, dans certains cas, être tirée : on a, d'après les formules connues :
N M» ,, N Mo
w = 1 > et p = ■
Et comme nous admettons, pour une première approximation , que I : v = Qb, en faisant la substitution on obtient les trois formules :
M Qb
d'où
Faut-il que Jes deux tables aient la même surface Q ? S'il en était ainsi, comme p' est plus grand que p' il en résulterait que si la première table travaillait à la résistance de sécurité (p' = R), la seconde travaillerait beaucoup moins et que la matière ne se trouverait pas employée avec économie.
Au contraire, si nous proportionnons les surfaces des tables aux efforts p' et p", que nous venons de trouver, nous serons très voisins de faire travailler les fibres extrêmes sous le même effort unitaire lequel pourra, et même devra, être la résistance de sécurité R.
Soit Q' la surface de la table qui reçoit le plus grand effort, et Q" la surface de l'autre : nous écrirons les deux relations primordiales :
(3) Q' -h Q" = 2Q, et
(4) = iL.
Cela posé, nous considérons deux cas.
10T Cas. — Les semelles sont [toutes deux comprimées. On reconnaît ce cas à ce que p" est positif, ce qui veut dire que :
>0, doù N>— ou ^tt<1
Qb ' " " b N6
Entre les 4 équations (1), (2), (3) et (4) on élimine d'abord p' et p", puis on les résout par rapport à Q' et Q" et l'on en tire :
= q(1 + nT
En donnant aux tables les surfaces Q' et Q" nous serons dans de meilleures conditions qu'en les faisant égales, chacune à Q, et nous nous rapprocherons beaucoup d'un solide d'égale résistance. Néanmoins il faut remarquer que nous n'avons plus tout à fait la même pièce qu'au début. Du moins la fibre neutre, c'est-à-dire le lieu géométrique des centres de gravité des sections, est changée ; en effet : soit v' et v" les distances des fibres extrêmes d'une section à son centre de gravité, nous aurons v' -h v" = b et
d'où
et
On reconnaîtra facilement, en se reportant aux formules du n° 413-rf, que ce nouveau centre de gravité est précisément le centre de pression. D'où il résulte que la dissymétrie à apporter aux semelles, d'après les formules précédentes, revient à créer à la pièce une nouvelle fibre neutre qui coïncide avec la courbe des centres de pression, et nous avons vu que, s'il en est ainsi, l'arc est dans les meilleures conditions possibles ; il devient un arc sans flexion.
