ARC A DEUX SOMMIERS ENCASTRÉS
S 3. — Arc a sommiers encastrés
445. Données. — (a) Données de figure. — Portée, L = 30m ; Flèche, H = 6m. La libre neutre est un arc de cercle, comme dans les exemples précédents.
Les sections iront en décroissant de hauteur, depuis les sommiers, où l'on aura b = 1,10, jusqu'à la clef, où l'on aura b = 0,50; on voit que c'est le contraire du second exemple.
Cette disposition est favorable pour les arcs à sommiers encastrés, tandis que l'autre convient pour les arcs à deux rotules.
La hauteur b décroît proportionnellement aux longueurs de la fibre neutre et le développement de cette dernière (fig. 440-III) donne la valeur de b pour chaque section.
(6) Données de charges. — Nous supposons des conditions un peu différentes de celles de l'exemple précédent. La charge uniformément répartie, due au poids propre, est la même, et la représentative de ses moments est la parabole OP (fig. I). Les jambettes qui transmettent le poids du tablier sont toujours au nombre de deux; elles transmettent cbacune 5500 k. Mais nous supposons que leurs points d'application B et D divisent l'arc, et non plus sa corde, en trois parties égales. Nous avons construit en O^^. . . le funiculaire Collignon (fig. I et II), relatif à ces charges. Enfin, en additionnant ce polygone avec la parabole, nous avons en Opop la représentative des moments de charge.
(c) Données de constitution. — Pour une première étude, nous admettons également que les moments d'inertie sont proportionnels aux valeurs de b2, et nous ne tiendrons compte des dilatations calorifiques que dans une deuxième étude.
446. Constante et équilibre général de l'axe. — (a) Simplifications dues à la symétrie. — Remarquons tout d'abord que nos inconnues seront la poussée t et les moments d'encastrement M0 et M,. Mais, à cause de la symétrie de l'arc et de la symétrie des charges,
1° On aura M0 = Mu ce qui réduit à deux les inconnues;
2° Le stabili-centre de charge et celui de poussée seront sur la verticale milieu ;
3° Les deux stabili-centres d'encastrement seront sur une même parallèle à la corde de l'arc.
(b) Equations d'équilibre et sommes à chercher. — Voyons d'abord, avant de préparer un tableau de calcul, quelles sont les constantes dont, grâce à la symétrie, nous aurons strictement besoin et anticipons sur ce qui va suivre.
Pour déterminer les deux inconnues t et M o, nous écri-
vons d'abord que la somme des écarts de sommiers dus à cette poussée et aux moments d'encastrement M0 et M, (égaux entre eux) est égale à l'écart de sommier dû aux charges.
Mais, puisque M0 = M4, c'est comme si la pièce était soumise à un moment général à représentative rectangulaire ; M0 et son écart sera égal à l'écart que produirait le moment unitaire général n, multiplié par M0, et si ^ = 1
Nous multiplions le dernier membre par 2, parce que nous ne faisons la somme que pour la moitié de l'arc.
Bien entendu, nous n'introduirons pas le facteur E et nous remplacerons, avec les restrictions déjà formulées, I par b2.
L'écart dû à la poussée sera, au même facteur près,
Et l'écart dû aux charges sera
M y AS
Nous aurons la première équation d'équilibre,
?/AS
M, vaS
b2 ' "'u^ b2 1 ^ b2 Nous écrirons ensuite que le total des déviations angulaires sur chacun des sommiers est nul ; or on sait que ces déviations sont les réactions, sur le sommier, des aires des courbes à cheval correspondantes et, en vertu de la symétrie, ces réactions seront égales entre elles et, par suite, à la moitié de ces aires.
La symétrie simplifie donc le calcul en ce sens qu'elle nous dispense de chercher ces réactions, c'est-à-dire, en réalité, la position des trisectrices, et que nous n'avons qu'à écrire que l'aire de la courbe à cheval des charges ajoutée à la somme des aires des courbes à cheval de poussée et de moments d'encastrement, donne un total nul ; ce qui fournira l'équation
,/AS b2
(c) Tableau de calcul. — Le tableau de calcul ci-contre fera connaître les coefficients des équations (1) et (2). On remarquera que nous avons divisé l'arc, et non plus sa corde, en parties égales; c'est pourquoi le facteur commun AS pourrait être supprimé. Nous l'avons néanmoins conservé pour plus de généralité.
APPLICATIONS
AS
AS
AS
v-Sr
