AVANT-PROJET D'UNE VOUTE

b. Ponts de chemins de fer :

Surbaissement 1/4

e = 0,20 + 0,13v/2Ïl.

3° Voûtes

elliptiques .

a. Ponts-routes e = 0,15 -+- 0,15</2R.

/y. Ponts de chemins de fer e = 0,20 -h 0,17^.

4° Foires surhaussées, ogivales ou elliptiques. M. Résal propose la formule

e = 0,15 + 0,20 4=' b étant la montée de la voûte.

(b) Epaisseur aux reins de la voûte. — On convient d'appeler rein d'une voûte plein-cintre ou d'une voûte elliptique le joint qui coupe l'intrados au milieu de la montée. Dans une voûte surbaissée en arc de cercle, c'est le joint de naissance qu'il faudra considérer.

Croizette-Desnoyers indique entre l'épaisseur à la clef et l'épaisseur aux reins d'une voûte les rapports suivants:

Pleins-cintres 2

Arcs de cercle surbaissés au 1/4 1,80

Ellipses surbaissées au 1/3 1,80

Pour les voûtes surhaussées, il semble rationnel d'adopter le rapport indiqué pour les pleins-cintres.

(c) Epaisseur des culées. — Des formules empiriques ont été également données par divers auteurs pour la détermination de cette épaisseur; nous donnerons plus loin une méthode permettant cette détermination d'une façon beaucoup plus rationnelle et presque aussi rapide que par l'emloi de ces formules; nous n'en parlerons donc pas.

(d) Application. — Calculer les données provisoires de la voûte ci-dessous.

Elle doit servir pour un pont de chemin de fer.

Ouverture 2a = 24m, d'où a=12m.

En arc de cercle surbaissée à 1/6, d'où b = 4m.

1 /a2 \ 1 /144 \ On en déduit R = — ( — + b j = — / — + 4J = 20'».

Les formules empiriques de Croizette-Desnoyers donnent: épaisseur à la clef e = 0,20 + 0,16 v/^ÏT= M'épaisseur au rein e' = 1,40 e = 1,69.

Et nous savons que, pour les voûtes surbaissées en arc de cercle, le rein se confond avec le joint de naissance. Dès lors (fig. 450),

]°On trace en AB l'intrados définitif, en arc de cercle; 2° On prend à la clef BB" = lm,21 et en B' le milieu de BB";

3° On prend à la naissance A A" = 1,79 et en A' le milieu de AA";

Fig. -iôu

4° On réunit B' et A' par une courbe s'écartant régulièrement de l'intrados ; cette courbe peut être un arc de cercle ;

5° On mène les normales telles que CC et, lesprolongeant d'une longueur égale de C en C", on en déduit les points d'extrados, tels que C", en aussi grand nombre que l'on voudra.

Une fois cela fait on procède, comme nous allons le dire, à une première évaluation des charges et des surcharges.

464. Charges et surcharges d'une voûte. — (a) Mode d'action de la surcharge. — La voûte est soumise aux charges et aux surcharges suivantes :

1° Le poids des voussoirs, dont la valeur approximative est déterminée d'après les épaisseurs provisoires trouvées cidessus ;

2° Le poids des tympans et du tablier;

3° Les surcharges accidentelles ; ces deux charges agissent sur l'extrados de la voûte.

Si les tympans sont en maçonnerie, l'expérience a montré qu'une rupture de la voûte suivant un joint AB détermine, en général, une rupture à peu près verticale du tympan suivant AC (fig. 451-1).

On peut donc admettre que la portion de charge et de surcharge qui agit sur un voussoir ABA'B' est limitée par les verticales AC et A'C.

(b) Détermination des forces verticales agissant sur la voûte. — Nous commencerons par diviser la voûte en un certain nombre de voussoirs, et nous mènerons les verticales telles que AC et A'C limitant les portions de surcharge correspondant à chacun d'eux. Cela posé :

LES VOUTES

1™ Méthode. — Soit AA'BB' unvoussoir; son centre de gravité est G, et nous devons appliquer en ce point une force f égale au poids de ce voussoir sur lm de longueur (fig. 451-1). La portion de tympan, ou le remplissage situé au-dessus suivant AGC'A', a pour centre de gravité, G, et nous appliquons en ce point une force fi égale au poids du prisme ayant pour base le trapèze ACC'A' etlmde longueur. Demêmepourlachaussée représentée par lerectangle GDD'G' et pour la surcharge représentée par une force f3 appliquée au milieu G3 de DD'.

En composant ces forces /", /",, f2, /'3, nous aurons la résultante telle que R des actions verticales sur le voussoir considéré. Cette méthode est longue; on peut opérer autrement et presque aussi exactement comme suit.

, I îï

Fig. 451

2* Méthode. — Ramenons (fig. 431-11) toutes les surfaces de charges à la même densité que la maçonnerie qui constitue les voussoirs. Soit d la densité de cette maçonnerie, d' celle des tympans; nous remplacerons le trapèze AGC'A', représentant la portion du tympan correspondant au voussoir, par un autre trapèze ACjC^A' dans lequel chaque ordonnée y' sera égale à l'ordonnée correspondante y du trapèze ACC'A' réduite, ou augmentée, dans le rapport de la densité d1 à la densité d; soit y' = y(d':d).

Opérons de même pour la chaussée, et pour la surcharge que nous représenterons par une surface de maçonnerie D^iE'jD'! de densité d.

Une fois cela fait, nous prendrons, en bloc, le centre de gravité G' du trapèze curviligne, homogène, AEtE'jA' ainsi obtenu et nous appliquerons, en ce point, une force R' égale à la résultante trouvée précédemment des forces

Cette force composée avec le poids f du voussoir donnera la résultante finale R et sa position sera très peu différente de celle qu'on aurait trouvée en opérant par la première manière.

Quant aux deux forces felll', elles seront composées soit graphiquement, soit par la méthode des moments, en prenant directement sur l'épure, avec un double décimètre, les mesures nécessaires.

Supposons que ces opérations préliminaires soient faites:

nous connaîtrons, dès lors, les forces (charges et surcharges) qui agissent directement sur chaque voussoir stéréotomique. Si l'on connaissait, en outre, les réactions que chacun d'eux subit de la part de ses voisins, on verrait s'il est, ou non, en équilibre statique et en équilibre moléculaire. Nous avons même vu au début (v. fig. n° 459), que si l'on connaissait en grandeur, direction et position la poussée que la clef reçoit de la demi-voûte, on en déduirait, de proche en proche, la ligne des pressions et, comme conséquence, les réactions successives des voussoirs les uns sur les autres. Cette étude va faire l'objet du paragraphe suivant.

465. Les trois conditions de stabilité. — Une voûte ne peut s'effondrer que si certains de ses voussoirs sont dérangés de leur position ou bien s'ils sont détruits.

Les voussoirs peuvent être déplacés :

1° Par rotation autour d'une de leurs arêtes, soit d'intrados, soit d'extrados ;

2° Par glissement les uns sur les autres suivant les surfaces de lit. Enfin :

3° Les voussoirs peuvent être d'abord déformés et ensuite détruits par écrasement de la pierre qui les constitue.

Aucun de ces effets ne doit pouvoir se produire si l'on veut que la voûte soit stable et durable.

(a) Condition d'équilibre. — Pour qu'il n'y ait pas rotation des voussoirs autour des arêtes d'intrados ou d'extrados, il faut que ces voussoirs soient en équilibre statique. La condition nécessaire et suffisante pour cela est que la courbe des centres de pression soit toute entière comprise entre les surfaces d'intrados et d'extrados.

C'est la condition d'équilibre statique.

(b) Condition de frottement. — Pour qu'il n'y ait pas glissement d'un voussoir sur un autre, il faut que ce glissement soit empêché par le frottement et, pour cela, il est nécessaire et suffisant que la résultante des forces agissant sur chaque lit fasse avec la normale au plan de lit un angle inférieur à l'angle de frottement, angle que l'on peut évaluer à 35° lorsqu'il y a du mortier interposé entre les voussoirs et que ce mortier a fait prise; on ne décintre jamais, en effet, une voûte avant ce moment.

C'est la condition de frottement.

(c) Condition de résistance. — Enfin, pour que les voussoirs ne s'écrasent pas, il faut qu'en aucun point la pression par unité de surface qu'ils supportent ne dépasse pas la résistance de sécurité qui peut être attribuée aux matériaux dont ils sont composés.

C'est la condition de non-écrasement ou de résistance. Nous avons vu au paragraphe précédent quelles étaient