Construction des courbes de pression

(a) Courbe des pressions répondant à une poussée quelconque. — Nous avons dit qu'en prenant une poussée d'essai l appliquée en un point de la clef, on pouvait construire une courbe des pressions. Appliquons cette poussée au tiers supérieur de la clef, et construisons un funiculaire des charges verticales, avec une distance polaire graphiquement égale à t (fig. 453).

Fit-'. 452 Fig 453

Nous prendrons les forces verticales dans leur ordre successif en allant de la clef au sommier, et nous prendrons le premier rayon polaire horizontal ; le funiculaire ainsi construit sera la ligne des pressions correspondant à la poussée t. Ce tracé nous permettra, en outre, de trouver en ai«2a3, par les recoupements successifs des côtés du funiculaire avec son côté initial, qui est la poussée Jt, les positions des résultantes partielles R,, R2, etc., qui représentent le poids de 2, 3, etc. voussoirs en partant de la clef.

La dernière de ces résultantes sera la résultante totale R.

Une courbe des pressions étant tracée avec la poussée d'essai t, je dis que nous pourrons en déduire la courbe de pression passant par un premier point donné à la clef et par un second point donné sur le joint de rupture.

Résolvons d'abord le problème préliminaire suivant :

(b) Problème préliminaire. — On donne une courbe (fig. 454) et trois points M, N, P sur cette courbe ; sur les verticales de ces trois points, on prend respectivement trois autres points m, n, p :

1° Faire passer par ces trois points une courbe dont les ordonnées, telles que pp', soient une réduction, ou une amplification, des ordonnées telles que PP', de la première ;

2° Déterminer le rapport de réduction.

Menons les droites MN, mn (fig. 454) et les verticales PP' et pp' ; la nouvelle courbe s'obtiendra en prenant comme axes des x les droites MN et mn et réduisant les ordonnées de la première dans le rapport de pp' à PP'- Le rapport de réduction sera donc égal à pp' : PP'.

MÉTHODE DES INDICATRICES (A. DURAND-CLAYEj

Cas particulier. ■ — Si la première courbe est symétrique par rapport à la verticale du point P, les droites MN et mn sont horizontales, et il suffit d'opérer sur la moitié de la courbe. Les deux points M et P d'une part, m et p d'autre part suffisent à déterminer le problème.

Fig, 454 Flg. 455

(c) Application au tracé des courbes de pression d'une voûte (fig-. 455). — Supposons déterminé, comme nous l'avons indiqué plus haut, le joint de rupture MN ; nous avons tracé, comme il vient d'être dit, avec une poussée d'essai t, appliquée en un point quelconque J, une courbe des pressions JABCD ; nous voulons en déduire la courbe des pressions qui passerait au point J' du joint de clef et au point T du joint de rupture ; pour cela :

Menons la verticale I'I jusqu'à sa rencontre en I avec le côté BC de la ligne des pressions; menons les horizontales IK, I'K' ; la nouvelle courbe des pressions, partant du point J' pour aboutir en l' sera obtenue en réduisant dans le rapport J'K' : JK les ordonnées de la courbe JABCD.

La poussée correspondante, qui est la distance polaire du nouveau funiculaire, aura pour valeur

Il sera donc facile de tracer une courbe des pressions quelconque et d'en déduire la poussée correspondante.

§ 3. — Méthode des indicatrices,

471. Principe de la méthode. — Une poussée T étant appliquée en un point C de la clef, représentons cette poussée par une perpendiculaire au joint de clef, élevée par ce point C. Si nous opérons de même pour toutes les poussées compatibles avec l'équilibre de la voûte, le lieu géométrique de leurs extrémités sera une aire limitée par une courbe que nous nommerons l'indicatrice des conditions d'équilibre .

En cherchant toutes les poussées compatibles avec la condition de frottement, nous aurons une seconde aire limitée par l'indicatrice des conditions de frottement.

Enfin toutes les poussées compatibles avec les conditions de résistance des matériaux, donneront une aire limitée par l'indicatrice des conditions de résistance.

La superposition des trois aires ainsi obtenues fournira

Dans le cas d'une voûto surhaussée, la rupture tend à se produire au contraire par -l'ouverture de l'extrados à la clef, et par celle de l'intrados au joint de rupture ; il faudra donc déterminer le joint de rupture d'une manière analogue à ce qui a été fait pour les voûtes circulaires, et employer unè courbe de pressions passant au tiers inférieur du joint de clef, et au tiers supérieur du joint de rupture.

470. Vérification des conditions de frottement et de résistance. — Si la courbe de pression donne des centres de pression placés tous dans le noyau central, on s'en sert pour vérifier dans chaque section la condition de frottement et la condition de résistance des matériaux.

A cet effet, on construit le dynamique correspondant, comme dans le cas des arcs; on sait que chacun des rayons polaires représente la résultante des actions sur un joint correspondant de la voûte ; on décompose alors chacun de ces rayons en deux forces, l'une normale au joint, l'autre parallèle. La première N est la pression normale; elle servira à vérifier la condition de résistance par la formule

dans laquelle, nous le rappelons, Q est la surface du joint, a la demi-largeur du noyau central, x la distance du centre de pression au centre de gravité de la section, p ne devra pas dépasser la résistance de sécurité admise pour les matériaux dont se compose la voûte.

La condition de frottement sera satisfaite si le rayon polaire ne fait pas avec la normale du joint un angle supérieur à l'angle de frottement.

Si ces conditions (surtout la première) ne sont pas remplies, on augmentera l'épaisseur de la voûte aux joints où cela sera nécessaire, et on fera avec ces nouvelles données une nouvelle épure de Méry.