OU MÉTHODE DES AIRES DE STABILITÉ

l'aire de stabilité définitive de la voûte, laquelle sera l'aire commune aux trois précédentes.

Toutes les poussées dont l'extrémité tombera dans l'aire de stabilité de la voûte, donneront des courbes de pressions remplissant les trois conditions d'équilibre, de frottement et de résistance.

S'il n'existe pas d'aire commune aux trois aires partielles, la voûte n'admet aucune solution d'équilibre.

Si cette aire commune se réduit à un point, il n'y a qu'une seule solution d'équilibre, ce qui est strictement suffisant.

Si l'aire commune est très considérable, on peut en conclure que l'ouvrage présente un excès de stabilité, et modifier ses dimensions pour se rapprocher, dans une juste mesure, du cas où il n'y a qu'une seule solution d'équilibre.

LES VOUTES

Celte méthode, malgré sa supériorité manifeste sur la méthode de Méry, où les hypothèses jouent un rôle prépondérant, n'a pas été jusqu'à ce jour très employée dans la pratique. Cela tient à sa complication et au grand nomhre de constructions qu'elle exige. Expliquons-la néanmoins.

472. Indicatrice des conditions d'équilibre. — 1° Indicatrice sur la clef. — Considérons une portion de voûte comprise entre la clef C0D0 et un joint quelconque CD (fig. 456).

En faisant abstraction des conditions de résistance propre des matériaux, et en supposant, d'abord, cette résistance illimitée, nous pourrons trouver les poussées compatibles avec l'équilibre de la portion de voûte considérée.

Pour que cette portion de voûte soit en équilibre, il faut que la résultante de son poids P et de la poussée ait son point d'application entre les extrémités C et D du joint CD. Toutes les poussées satisfaisant à cette condition fourniront sur le joint CD des pressions normales compatibles aussi avec l'équilibre, c'est-à-dire ne produisant pas la rotation autour de l'arête C ni de l'arête D.

Fig. 456.

Or, considérons un point A sur le joint CD, et supposons que la résultante des pressions agissant sur ce point soit appliquée en ce point A; cette résultante provient de la composition du poids P de la portion de voûte CDC0D0 avec une poussée appliquée en tel ou tel point de la clef.

En faisant varier entre C0 et D0 le point d'application de cette poussée inconnue, nous obtiendrons, pour chacun de ces points, les valeurs qui font que la résultante d'elle et de P est assujettie à passer au point A.

Nous obtiendrons, en joignant les extrémités des droites représentatives de ces poussées, une courbe telle que [aai, qui, ainsi que nous le démontrerons plus loin, sera une hyperbole.

Faisons varier de C en D la position du point A; à chacune de ces positions correspondra une hyperbole analogue à la courbe ; les hyperboles extrêmes, «0fo et y08o, correspondront respectivement aux extrémités C et D du joint.

L'aire aopoTo^o ainsi limitée par les hyperboles extrêmes sera, sur la clef, l'indicatrice d'équilibre de la portion de voûte C0D0CD. Cela voudra dire que toute poussée qui ne produira pas le renversement par rotation autour de C ou de D (ou encore que toute poussée dont la courbe de pression correspondante rencontrera le joint entre C et D) doit avoir l'extrémité de sa représentative contenue dans l'intérieur de cette aire.

2° Indicatrice sur le joint. — Si nous considérons, sur le joint CD, les pressions normales qui correspondent aux diverses poussées ainsi définies, nous pourrons représenter ces pressions normales par les droites perpendiculaires au joint CD, comme nous l'avons fait à la clef pour les poussées.

Nous obtiendrons ainsi une aire aj3yo dans laquelle seront comprises les extrémités de toutes ces composantes normales. Aux poussées qui ont leurs extrémités sur la courbe «a,, correspondent des pressions normales ayant leurs extrémités sur la droite A'A"; de sorte que les droites ap et yo sont réciproques des courbes a0p0 et y030, tandis que les courbes ay et (33 sont réciproques des droites a0y0 et jï0S0.

Je dis que les courbes a0[30 et y08o tracées à la clef sont des arcs d'hyperbole. Prenons, en effet, les moments des forces agissant sur la portion de voûte ; leur somme doit être nulle, puisque cette portion de voûte est en équilibre.

Considérons la courbe x0%, qui correspond à la position C du point d'application de la résultante sur le joint CD; prenons, par rapport au point C, les moments de la poussée T, du poids P et de la réaction égale et contraire à la résultante appliquée au point C. Cette dernière, passant au point C, donne un moment nul; nous aurons donc, en ne considérant que la poussée T et le poids P, T X MT = PXCM.

Le produit T X MT est donc constant, et en posant T = x, MT = y, on voit que la courbe a0p0 est une hyperbole équilatère ayant pour asymptotes les droites C0Do qui est la clef, et CM qui est l'horizontale du point C.

Je dis que, sur le joint, les courbes ay et (i8 sont aussi des hyperboles. Considérons, en effet, la courbe (38 donnée par les poussées appliquées au point C0 à l'intrados. Soit une poussée C0«i qui, composée avec le poids P de la portion de voûte C0D0CD, donnerait la résultante GH. Prolongeons la poussée Co^i jusqu'à sa rencontre en F avec le joint CD. La réaction de la partie de voûte située au-dessous du joint CD est égale et de signe contraire à la résultante appliquée au point H; décomposons cette réaction en deux forces, l'une normale au joint, égale et de signe contraire à la pression normale N = HH' sur ce joint, l'autre dirigée suivant le joint.

La portion de voûte C0D0, CD étant en équilibre, la somme des moments, prise par rapport à un point du plan, des forces qui agissent sur elle est nulle. Prenons les moments