INDICATRICES

et BT', que nous allons apprendre à déterminer, et qui donneront, comme indicatrices de frottement pour le joint CD, les deux droites <p<p' et tyty'. Ce sont ces droites qui limitent l'aire de frottement pour le joint CD (fig. 457).

(b) Détermination des indicatrices partielles. — Pour déterminer les droites telles que oo' et Y-/ relatives à chaque joint, portons sur la verticale de clef, à partir d'un point B, pris quelconque d'ailleurs sur cette verticale, les forces fu f2, f:h appliquées à chaque voussoir et qui ne sont autre chose que les poids de voussoir et de tympan qui répondent à chaque joint déterminés, comme l'indique la figure 451 (v. n° 464). Par les points ainsi obtenus, menons des parallèles aux droites qui font avec la normale à chaque joint, et au-dessus, un angle égal à l'angle de frottement, que nous avons admis être égal à 35° ; les points d'intersection de ces droites avec l'horizontale du point B déterminent sur cette horizontale des longueurs égales aux poussées, pour lesquelles commencerait à se produire un glissement descendant des voussoirs : ce seront les poussées limites de glissements descendants, ou encore les poussées limites minima, ainsi nommées parce que toute poussée plus petite laisserait glisser du côté de l'intrados au moins un des voussoirs.

(c) Indicatrice limite. — Il nous faut maintenant chercher la plus grande de ces poussées. A cet effet traçons en ap la courbe enveloppe de ces droites ; elle coupe l'horizontale du point B, en un point T ; la poussée BT est la plus grande des poussées capables de produire le glissement d'un voussoir de l'extrados vers l'intrados. On voit que si cet effet tend à se produire, ce sera au voisinage de la clef.

Si nous menions en T la tangente à la courbe enveloppe, elle recouperait le dynamique entre le point fx et /',, ce qui indique que le joint dangereux, au glissement descendant, est situé aux environs du joint n° 1 .

Pour obtenir les indicatrices de glissement montant menons, de même, les parallèles aux droites qui font l'angle de 35° avec la normale à chaque joint, mais cette fois audessous, de ces normales ; traçons en a' fi' la courbe enveloppe de ces droites. Il faut prendre ici la plus petite des poussées capables de produire le glissement montant; cette poussée sera donnée en T' par l'intersection, avec l'horizontale du point B, de la tangente à l'enveloppe menée par l'extrémité inférieure du dynamique.

La construction montre que ce glissement montant tend à se produire vers les naissances; et même, dans les voûtes en arc de cercle, ce glissement tendra surtout à se produire sur le premier joint horizontal du piédroit ; c'est pourquoi il sera bon, dans ce cas, de considérer la première assise du piédroit comme faisant partie de la voûte et d'ajouter au dynamique fifnf3f\ la force verticale qui est appliquée à cette assise.

STAB. 55

LES VOUTES

474. Indicatrice des conditions de résistance. — Rappelons ici, en l'appliquant à un joint quelconque CD d'une voûte, ce qui a été dit au n"331, relativement à la transmission des pressions entre deux surfaces planes et à la résistance de sécurité sur l'arête.

Considérons (fig. 458) un joint quelconque CD ; la résistance de sécurité admise pour les matériaux qui composent la voûte est R.

Lorsqu'une force N, normale au joint, agit sur lui, la compression maxima a lieu sur l'arête d'intrados C ou sur l'arête d'extrados D, suivant que la force N est appliquée sur la partie OC, ou sur la partie OD du joint. Supposons que sur les arêtes C ou D la compression par unité de surface ait atteint la résistance de sécurité R; nous avons la formule

dans laquelle x est la distance du centre de pression au centre de gravité et a = d/6 6 est la limite du noyau central. Cette formule est applicable tant que le centre de pression est dans le noyau central c'est-à-dire dans le tiers central du joint; si on y pose N = y, elle représente le lieu des pressions normales compatibles avec la résistance quand on fait varier x de 0 à a.

Ce lieu est l'hyperbole équilatère wMF, ayant pour asymptotes : 1° la droite CD et 2° la droite m'W passant par l'extrémité ml du noyau central.

Lorsque le centre de pression tombe dans le tiers extérieur du joint, c'est la formule

qu'il faut appliquer; en y faisant N = y elle représente une ligne droite, MC, tangente en M à l'hyperbole précédente.

La même chose a lieu pour les deux moitiés du joint, de sorte que l'indicatrice ainsi obtenue est symétrique par rapport à la normale au centre de gravité du joint.

Fig. 458.

En résumé, le contour de sécurité CM-oM'D, est la représentative des pressions normales compatibles avec la résistance de sécurité sur l'arête C ou sur l'arête D. Rappelons en deux mots comment on trace ce contour.

1° o étant la surface du joint, et R la résistance de sécurité, on porte au milieu, Ou = s! X R, ce qui donne le point «j.

2° Aux points trisecteurs m et m', on porte

iwM = w?M' = 1/2 CK et l'on trace les arcs d'hyperboles équilatères wM et io'M'.

3° On mène les droites MC et M'D, lesquelles doivent être tangentes aux hyperboles précédentes.

Cela fait : pour qu'une pression normale BN, ne fasse pas travailler l'arête, située de son côté, au-delà de la résistance de sécurité, il faut que l'extrémité N de sa représentative tombe dans l'intérieur du contour de sécurité à l'écrasement CMwM'D.

Ce contour s'allonge d'autant plus que R est plus grand.

Chaque joint, et en particulier la clef C0D0, possédera son contour de sécurité à l'écrasement C0w0D0.

475. Aire définitive de stabilité d'une voûte. — (a) Aire de stabilité pour un joint. — Laissons de côté tout d'abord les indicatrices de frottement, qu'il suffira de rapporter en dernierlieu sur l'aire définitive trouvée au moyen des deux autres conditions.

Cherchons à déterminer les poussées compatibles avec les conditions d'équilibre et avec celles de résistance des matériaux.

Considérons toujours (fig 459) une portion de voûte CoD0CD et traçons sur le joint CD l'aire aPyS qui limite les pressions normales compatibles avec l'équilibre. Toutes celles

Do fM« Morc

Fig. 459

dont les extrémités aboutiront en dehors de l'indicatrice de résistance CwD sont à rejeter ; il reste donc seulement celles qui ont leurs extrémités dans l'aire KLMN.

Mais l'élimination d'une partie des pressions normales sur le joint CD entraîne l'élimination des poussées correspondantes ainsi que nous allons le montrer. En effet :

Traçons, à la clef, les courbes M0L0, réciproque de ML, et N0K0, réciproque de NK du joint CD; les poussées admissibles sont celles qui ont leurs extrémités dans l'aire K0UMoNo- Pour tenir compte de la condition de résistance à la clef,