INDICATRICES

nous devons éliminer toutes les poussées terminées en dehors de l'indicatrice de résistance C0w0D0.

C'est donc en définitive dans l'aire résidu, pqrs, que devront aboutir les extrémités des poussées compatibles avec les conditions d'équilibre et de résistance réalisées à la fois sur la clef et sur le joint CD.

Traçons les courbes PR et QS réciproques, sur le joint CD, des courbes pr et qs à la clef ; l'aire PQRS renfermera les extrémités de toutes les composantes normales qui, sur le joint CD, résultent des poussées reconnues possibles comme étant contenues dans l'aire pqrs.

Toutes les poussées et pressions normales compatibles avec la stabilité de la portion de voûte CDC0D0 sont donc ainsi parfaitement déterminées.

(6) Remarques. — Les deux contours PQRS et pqrs étant réciproques l'un de l'autre.

1° Toute poussée dont l'extrémité sera située sur les lignes rs et pq, fait travailler l'une des arêtes du joint CD à la résistance de sécurité R, tandis que celles de la clef travaillent moins ;

2° Toute poussée limitée aux courbes rp ou sq fait travailler une des arêtes de la clef à la résistance R, tandis que celle du joint CD travaillent moins.

3° Les poussées terminées en l'un des quatre sommets p, q, r et s produiront simultanément la pression de sécurité R sur les deux joints ;

4° Si l'on adopte une résistance de sécurité différente, les indicatrices d'équilibre a0PoTo20 et aPyS resteront les mêmes ; les contours de sécurité à l'écrasement CwD, C0w0D0 seront seuls modifiés, ce qui changera évidemment la forme de l'aire partielle de stabilité pqrs.

(c) Aire définitive de stabilité. — Considérons maintenant une demi-voûte ; si nous répétons la même construction pour différents joints CiD,, C2D2, etc., jusqu'au jointde naissance, nous obtiendrons des aires piqiViSu p^q^r^ (non représentées sur la figure 459) correspondant à chacun d'eux.

Nous prendrons la partie commune à toutes ces aires et toute poussée compatible avec l'équilibre et la résistance des matériaux aura son extrémité dans cette partie commune qui sera alors l'aire définitive de stabilité de la voûte, après qu'on en aura retranché les parties situées en dehors des indicatrices de frottement.

Nous déterminerons ainsi toutes les solutions possibles d'équilibre de la voûte.

764. Courbes de pression limites. — Nous pourrions tracer toutes les courbes de pression possibles correspondant aux poussées dont l'extrémité se trouve dans l'aire définitive de stabilité. Si l'extrémité de la poussée est à l'intérieur de

cette aire, nulle part les matériaux ne seront soumis à un effort supérieur à R.

Si elle aboutit sur un côté du contour, l'effort limite R sera produit soit sur un joint, soit à la clef.

Lorsque l'aire pqrs sera tout entière comprise dans l'intérieur des indicatrices de frottement, la condition de frottement n'interviendra pas, c'est-à-dire qu'en aucun joint de la voûte, le glissement ne tendra pas à se produire.

Etudions les conditions de stabilité répondant aux différentes formes de l'aire de stabilité. Trois cas peuvent alors se présenter :

lor cas. — L'aire aura la forme d'un quadrilatère (ûg. 460-1), alors une poussée définie par un sommet r donne l'effort limite R à l'extrados à la clef et à l'intrados sur le joint de même numéro ; par exemple si le sommet est noté r4, c'est sur le joint C4D4 que se produira l'effort R.

Une poussée définie par un sommet p donne l'effort limite R à l'extrados à la clef et à l'extrados sur le joint de même numéro.

Une poussée définie par un sommet q donne l'effort R à l'intrados, à la clef, et à l'extrados sur le joint de même nu-

Fig. 460

méro. Une poussée définie par un sommet s donne l'effort R à l'intrados à la clef et à l'intrados sur le joint de même numéro .

2e cas. — L'aire a la forme triangulaire (ûg 460-11) ; elle est alors limitée par deux courbes rs et pq qui se coupent en un point v. La poussée correspondant à ce point v donne l'effort limite R à la fois sur les deux joints auxquels correspondent les deux courbes rs et pq.

Par exemple, si les deux courbes sont r4s4 et ptiq6, les deux joints sur lesquels cette poussée développe l'effort R sont C4D4 et C6D6. L'aire hachée répond seule à la stabilité.

3e cas. — Si l'aire limite se réduit à un point pr (fig. III), la poussée correspondante donne une solution de stabilité de la voûte; et il n'y a que cette solution possible ; la pression limite R est obtenue à la fois sur la clef et sur deux joints définis par les numéros des courbes rs et pq dont le point d'intersection forme l'aire de stabilité de la voûte.

Si trois courbes rs et pq se coupent en un même point, qui forme l'aire de stabilité (fig. IV), la pression limite R est obtenue sur les trois joints demêmes numéros que ces trois courbes.

4e cas. — Si l'on ne trouve pas d'aire limite, c'est que la

LES VOUTES

voûte n'admet aucune solution d'équilibre ; il faut alors en modifier le tracé.

Fig 461

Nota. — Si la courbe pqrs est coupée par l'une des indicatrices de frottement en deux points m et n (fig. 461), toute poussée ayant son extrémité sur mn sera sur le point de produire un glissement sur le joint correspondant ; cejoint sera situé vers la clef, si c'est la droite <p<p' qui intervient ; ce joint serait, au contraire, aux naissances, si c'était la droite ^rw'qui coupe l'aire pqrs (v. n° 473-6) .

Pour les poussées aboutissant en m et en n, la limite de glissement sera atteinte pour un certain joint, celui qui répond à Q-f' ; tandis que pour le joint répondant à l'indicatrice partielle rp de résistance à l'écrasement l'effort limite R sera atteint.