OX ÔM OM — OX

OK

ôx ox-

OM OX MX KX ÔM'=ÔT

11 en résulte que bx = by; donc pour la position du plan de séparation correspondant à la poussée maxima, le point x et le point y sont confondus au point x' .

L'expression de la poussée devient alors

F' = — p X bx' sin KK'B.

et comme KK'B

il vient

— pxkr'2Xcos(w'

(c) Autre cas possible. — Nous avons supposé que le point X' tombait sur EL. Si, en faisant la construction, on trouve un point en dehors de cette droite, c'est que la trace du plan séparatif rencontre un autre coté LS ou SV du profil ; elle ne rencontrera jamais le côté HE dont la pente est ordinairement celle du talus naturel.

Pour appliquer la construction à un autre côté du profil, SV par exemple, il faut commencer par déterminer le point K situé sur le prolongement de SV, de telle sorte que le triangle 6KX soit équivalent au polygone 6HELSX. Nous y arriverons en transformant le polygone 6HELS en un triangle équivalent ayant VS prolongé comme base (fig. 473). A cet effet :

Fig. 473

Menons EH' parallèle à I.H et joignons les points L et H' : le quadrilatère 6HLS est équivalent au pentagone 6HELS.

Minons LH" parallèle à H'S et nous aurons le triangle 6H"S équivalent au quadrilatère 6H'LS ; enfin déplaçons le sommet H" de ce triangle parallèlement au côté 6S et amenons-le en K, sur la ligne VS prolongée, le triangle 6KS est équivalent au précédent.

Le poiut K étant ainsi déterminé, la construction s'achèvera comme précédemment.

(d) Cas particuliers. — 1° On néglige le frottement des terres suite mur. — Nous venons d'admettre qu'on tenait compte du frottement des terres sur le parement intérieur du mur : ce frottement est favorable à la stabilité; mais il n'est eflicace que si l'on a pris les précautions suffisantes pour éviter les infiltrations d'eau.

On se placera dans les conditions les plus défavorables et, par suite, on aura un surcroît de sécurité en supposant que l'angle de frottement tp' des terres sur le mur est nul. La poussée est alors normale au parement intérieur; la construction précédente s'applique à ce cas.

2° Le terre-plein est horizontal. — La construction est encore la même ; mais si de plus ou néglige le frottement des terres sur le mur, elle se simplifie, et le plan séparatif a pour trace la bissectrice de l'angle que fait le parement intérieur du mur avec la ligne du talus naturel menée par son pied tfig. 474). En effet :

Fig. 474

Soit bïi le parement intérieur du mur, bM la ligne du talus naturel, 6X la trace du plan séparatif, nous devons mener au point b la droite 60 faisant avec 6H l'angle o et mener par le point 0 où elle rencontre le terre-plein MH, une tangente à la demi-circonférence décrite sur HM comme diamètre ; la longueur OT est rabattue en OX, et nous avons : OX2 = OH X OM.

Les triangles semblables 0H6, 0M6 donnent OH 06 06 — Ôm' d'où 062 = OH X OM et 06 = OX .

Le triangle 06X est isocèle, et les angles 06X et 0X6 sont égaux; mais, de plus, les angles 0X6 et X6S sont égaux comme alternes internes; il en résulte 06X = X6S, et en retranchant le même angle ta de ces deux angles, il reste H6X = X6M.

La droite 6X est donc bien la bissectrice de l'angle H6M. C. q. f. d.

3° Le plan séparatif est déterminé par la nature du terrain. — Lorsqu'on construit des murs de soutènement à flanc de coteau, sur des pentes rocheuses et assez raides, le prisme de poussée se compose de tout le remblai

i5ou2oa

Fig. 47.Ï

rapporté entre le mur et la pente rocheuse du coteau, qui forme alors le plan séparatif ; on donne à l'angle de frottement » la valeur correspondant au frottement de terre sur maçonnerie, et comme les infiltrations sont à craindre, il est même prudent d'abaisser à 15° ou 20° la valeur de cet angle (fig. 475).

Il en est de même dans le cas d'un mur destiné à soutenir un massif rocheux à stratification inclinée ; le glissement pouvant se faire suivant un lit de stratification, surtout s'il y a des bancs de marne ou d'argile interposés, c'est cette direction qu'il faut considérer comme plan séparatif (fig. 476).