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conférence ; de B comme centre avec une longueur, BG = ON, pour rayon, traçons un arc de cercle qui coupera la première circonférence en G à une distance V du point B; la distance OG sera la longueur cherchée a' et il suffira de la porter de 0 en M au moyen d'un arc de cercle.

Connaissant deux diamètres conjugués OM = d et ON = b' il sera facile de trouver les axes et de tracer cette ellipse (v. Ct, ch. Vj.

(1) Ou peut le démontrer en considérant l'ellipse comme la projection d'un cercle ; le rectangle ABA'B' sera la projection d'un losange, car tout parallélogramme circonscrit au cercle est un losange; les diagonales de ce losange, qui sont à angle droit, donneront en projection les diagonales du rectangle qui seront, par conséquent, deux diamètres conjugués de l'ellipse.

§ 3. — Becuerceie algébrique des moments d'inertie equatoriaux

82. La recherche d'un moment d'inertie équatorial ramenée à celle d'un moment statique. — Nous allons d'abord montrer qu'on peut ramener la recherche d'un moment d'inertie équatorial d'une surface, par rapport à une droite, à celle du moment statique d'un volume par rapport à un plan.

Soit ABC (fig. 05 représentée en perspective), dans le

plan horizontal, une aire plane dont nous voulons trouver le moment d'inertie par rapport à un axe quelconqne XX' situé dans son plan.

Considérons en E un petit élément de surface w situé à une distance y de l'axe, son sommet d'inertie partiel est

i - wy2.

Imaginons un cylindre vertical qui aurait pour base la

STAB. 5

MOMENTS D'INERTIE DES AI1ŒS PLANES

courbe ABC et un cylindre vertical plus petit ayant pour base to ; enfin menons par XX' un plan incliné à 45° ; ce plan coupera le cylindre total suivant une courbe plane

Fig. 65

A'B'C et le petit cylindre suivant une section oblique E'.

La hauteur de ce petit cylindre est égale à y, à cause de la direction à 45° du plan sécant ; le volume de ce cylindre élémentaire est donc

Son centre de gravité est au milieu de sa hauteur, c'est-àdire à une distance ?//2 du plan H.

Par conséquent le moment statique de ce petit cylindre, par rapport au plan horizontal H, est

d'où

wya = 2m j

Cette égalité montre que le moment d'inertie du petit élément w par rapport à l'axe XX' est égal au double du moment statique par rapport au plan H du petit cylindre EE' ayant w pour base. Le moment d'inertie total de la surface ABC, par rapport à l'axe XX', sera donc égal au double du moment statique du tronc de cylindre par rapport au plan H.

Si l'on connaissait le volume V de ce tronc de cylindre, son centre de gravité G et, surtout, la hauteur z{ de ce centre de gravité, son moment total serait

on aura donc

Swys = L = 2V2,.

En résumé : 1° on considère un cylindre droit ayant pour base l'aire plane donnée ;

2° Par la droite, relativement à laquelle on cherche le moment d'inertie, on mène un plan incliné à 45° sur le plan de base ; ce plan découpe un tronc de cylindre ;

3° On détermine le moment statique de ce tronc de cylindre par l'apport au plan de base ; ce qui conduit à chercher

le volume V de ce tronc et la distance de son centre de gravité au plan de la base ; V:, est ce moment statique ;

4° Le moment d'inertie cherché est égal au double du moment statique ci-dessus trouvé.

83. Application. — Moment d'inertie du rectangle par rapport à l'un de ses côtés.

Soient a et b (fig. 66 en perspective) les côtés du rectangle donné. Cherchons d'abord son moment d'inertie par rapport, au côté a.

En construisant comme ci-dessus le prisme qui aurait pour base ABCD et en le coupant par un plan à 45° passant