Qaadrant
— i- - Qu adrani.
Fig. 59
fait tourner progressivement l'ensemble des axes autour du point 0 comme pivot jusqu'à ce que OX prenne la place de OY, à ce moment les points de la surface qui étaient situés dans le 1er et dans le 3e quadrant avant le mouvement donné aux axes se trouveront, une fois le mouvement terminé, dans le 4e et le 2e quadrant.
Pour chacun des points situés dans ces quadrants le prod uit xy aura la même valeur absolue, avant comme après, mais ce produit aura changé de signe ; le premier était positif, le second sera négatif. Pour la même raison les produits xy qui étaient affectés du signe ■ — avant le mouvement des axes prendront après ce mouvement le signe -F, d'où l'on conclut que Swa;y qui était positif sera devenu négatif. Mais comme le changement de valeur se sera fait d'une manière continue, il est évident qu'à un instant donné le moment rectangulaire TLinxy sera passé par une valeur nulle.
Ces axes particuliers pour lesquels Swa-t/ = 0 ont reçu le nom d'axes principaux d'inertie.
Nous apprendrons à trouver la direction de ces axes et nous montrerons qu'il n'y en a qu'une seule.
80. Loi de variation des moments d'inertie. — Supposons connus les axes principaux d'inertie OX et OY; pre-
nons-les pour axes de coordonnées et cherchons la loi de variation des moments d'inertie lorsque l'axe OX, par rapport auquel on les prend, change de direction et devient OX' par exemple, faisant avec l'axe principal OX un angle a (fig. 00).
Pour un point quelconque M on a
l,r, = Ml/2.
Joignons OM et écrivons que la projection de OM sur OY' est égale à la projection sur le même axe, du contour oraM, nous aurons
y' = y cos a — x sin a.
Elevons au carré
y'2 — xj2 cos2 a +x-2 sin2 a — 2yr sin a COS a.
Multiplions les deux membres par ai et faisons la somme de toutes les valeurs analogues relatives aux autres points de la surface donnée en remarquant que Son/'2 — \x> , nous aurons :
I,.- = cos2a£to?y2 -f- sin2aSo)j?2 — 2 sin a cosâ2u)3?j/ ;
or les axes OX et OY étant, par hypothèse, les axes principaux d'inertie Zwxy = 0(v. n° 70); donc l'équation précédente se réduit à celle-ci :
(1) lx' = h: COS2 a -+- ly sin2 a.
Telle est la formule algébrique, très simple, qui fait connaître le moment d'inertie lx' par rapport à un axe OX', quand on connaît les moments d'inertie principaux I.r et \;l et l'angle a que l'axe OX' fait avec un des axes principaux d'inertie.
Cherchons à mettre en évidence les rayons de giration.
Désignons par p le rayon de giration répondant à l'axe OX' par r et R ceux répondant aux axes OX et OY et par a la surface totale de la figure proposée ; d'après ce que nous avons vu plus haut (v. n° 78), on a
U = o?s lx = ûr», Ij, = «2R2.
MOMENTS D'INERTIE DES AMIES PLANES
En substituant ces valeurs dans l'équation (1) et en supprimant le facteur commun a on obtient la formule :
(2) p2 = r2 cos2 a + R2 sin2 a.
80 bis. Ellipse d'inertie. — Nous allons montrer que celte équation qui, en définitive, fait connaître p en fonction de l'angle variable a et des quantités constantes R et r peut être interprétée géométriquement par une ellipse.
Fig.
En effet (v. Ct) l'ellipse qui, rapportée à ses axes, a pour
équation — -
satisfait, en coordonnées polaires, à l'équation
— COS2 a + — Sin- a = — ,
dont l'analogie de forme avec l'équation (2) est frappante. Pour conduire à l'interprétation annoncée, construisons (fig. 62) une ellipse telle que :
Fig. 62
-1° Son axe OB soit égal à r, rayon de giration correspondant à l'axe OX, ce qui revient à dire que le point B est le point d'inertie condensée répondant à l'axe OX;
2° Son autre axe OA soit égal à R, ce qui revient à dire que A est le point d'inertie condensée répondant à OY.
L'équation polaire de cette ellipse sera, d'après l'équation (3),
sin-
ou en réduisant au même dénominateur et en simplifiant
COS' a
sin- y..
V sin 6
d'où l'on déduit, en identifiant avec l'équation (2)
W P =-jT et P = — '
ce qui veut dire, puisque Rr est constant, que le rayon vecteur l de cette ellipse est inversement proportionnel au rayon de giration p de la direction OM.
Cette ellipse se nomme V ellipse d 'inertie (1); elle jouit de la propriété d'avoir ses rayons vecteurs inversement proportionnels aux rayons de giration répondant aux droites sur lesquelles ces rayons vecteurs sont comptés.
On conçoit que toute ellipse semblable à celle-ci serait dans les mêmes conditions ; mais l'ellipse d'inertie se dislingue de toutes les ellipses semblables par la propriété suivante : Menons à l'ellipse (fig. 62) la tangente NT parallèle à OM ; soit N le point de contact. Joignons ON et soit /'la longueur ON; désignons par 0 l'angle que font les deux diamètres OM et ON, qui, on le sait, sont conjugués l'un de l'autre. En vertu du deuxième théorème d'Apollonius on aura (v. Ct),
//' sin 6 = Rr, d'où l'on déduit en vertu de l'équation (4)
Rr ^
Mais /' sin 6 c'est la perpendiculaire NP. Par conséquent NP est le rayon de giration p répondant à la direction OM et la tangente NT est une droite d' inertie condensée relativement à l'axe OM.
Dès lors nous résumerons comme il suit les propriétés de l'ellipse d'inertie :
80 1er. Propriétés de l'ellipse d'inertie. — 1° L'ellipse
d'inertie est l'enveloppe des droites d'inertie condensée de
l'aire plane considérée.
2° Ses rayons vecteurs sont inversement proportionnels aux rayons de giration gui correspondent aux axes sur lesquels ces rayons vecteurs sont comptés.
Nota. — Cette théorie de l'ellipse d'inertie est d'une importance capitale en résistance des matériaux. Nous ne saurions trop engager le lecteur à ne pas passer outre sans l'avoir comprise dans tous ses détails.
* 81. Détermination graphique de l'ellipse centrale d'inertie. — Soit ABC (fig. 63) une surface quelconque dont on veut déterminer l'ellipse d'inertie. On commencera par déterminer son centre de gravité G et sa surface il par l'un
(1) Ce que nous venons de dire ne suppose pas que le point 0, soit le contre de gravité de la section. S'il en était ainsi l'ellipse se nommerait ellipse centrale d'inertie, ou tout simplement l'ellipse centrale.
KKc.iiwîciiK .\i.(.i:i!i!inn-: di:s moments dinertie equatoriaux
des inoyons que nous avons indiqués (v. nos 07 à 70) ; puis menant par G une droite quelconque GL on cherchera, par l'un des moyens que nous indiquerons plus loin, (v. n°82 et suivants) le moment d'inertie do la surface par rapport à cette droite. Supposons que nous sachions le trouver et soit 1/ ce moment d'inertie.
En faisant le quotient ^ on aura du le rayon de giralion
répondant à l'axe OL. Il suffira alors de mener à cet axe deux parallèles D et D', distantes de la ligne OL de la quantité di pour avoir deux tangentes à l'ellipse centrale d'inertie.
On répétera la même opération pour deux autres directions L' et L", ce qui donnera, finalement, un hexagone 1, 2, 3, 4, 5, 6, circonscrit à l'ellipse d'inertie.
Fig. 63
Le problème est donc ramené à celui-ci : Connaissant un hexagone circonscrit à une ellipse, tracer les axes de celle-ci.
Ce problème est assez difficile à résoudre, mais nous pouvons choisir nos directions L, L' et L" de manière à simplifier les constructions. Opérons comme suit :
Prenons la deuxième direction L' perpendiculaire sur la première L (ûg. 04) et cherchons comme ci-dessus les tangentes correspondantes de l'ellipse d'inertie. Soient AB, A'B', AB', A'B ces tangentes.
D'après un théorème connu, le sommet, B, de l'angle droit circonscrit à une ellipse est sur la circonférence
décrite de 0 comme centre avec la diagonale des axes comme rayon ; on a donc :
Ôîf= a2 + b2.
Prenons maintenant la diagonale BB' du rectangle circonscrit comme troisième direction et cherchons comme cidessus les tangentes correspondantes de l'ellipse d'inertie. Soient CD et CD' ces tangentes.
Les diagonales AA' et BB' sont des diamètres conjugués de l'ellipse (1), donc N est le point de contact de l'une de ces tangentes, ON = V est un demi-diamètre; son conjugué, a', s'obtiendra en appliquant le théorème d'Apollonius
a'1 + b12 = a2-+-ù2 = ÔB2.
A cet effet : sur OB comme diamètre, décrivons une cir-
