Position d'un point dans l'espace

(a) Axes de coordonnées (fig. 9 et 10). — On fixe la position d'un point M dans l'espace par rapport a trois plans coordonnés XOV, XOZ, YOZ, qui se coupent deux à deux suivant les trois axes de coordonnées OX, OY, OZ. Par le point M, on mène trois plans respectivement parallèles aux trois plans coordonnés, et qui recoupent les axes aux poinls m, m', m" .

Les longueurs. Om = x, Om' = y, Om' = z, prises avec leur signe, sont les trois coordonnées du point M.

On convient de compter les coordonnées positivement suivant OX, OY et OZ, et négativement suivant OX', OY' et OZ'.

Remarquons que la figure formée par les trois plans coordonnés et par les

trois plans qui passent par le point M et leur sont parallèles est un parallélipipède. Il en résulte qu'on peut prendre comme coordonnées du point M les trois lignes Om -= x, = y et (*M = z.

Nota . — Nous considérons ici les plans coordonnés comme perpendiculaires deux à deux. On dit alors que les coordonnées sont rectangulaires.

Application. — Placer le point x = 3 y =2 z = — 1 (fig. 10).

On prend sur OX, dans le sens positif Ô~m= 3 ; puis sur la parallèle à OY menée par le point m, et dans le sens positif, la longueur = 2 ; enfin sur la parallèle a OZ menée par et dans le sens négatif, la longueur !J-M = 1 ; cela donne en M le point cherché.

(&) Déplacement parallèle des axes de coordonnées (fig. fi.) — Soient OX, OY, OZ, les anciens axes et x = Om, y = mH-, z= H-M, les coordonnées du point M par rapport à ces axes ; soient OiXj, OiYt et

Fig

0,7^ les nouveaux axes parallèles aux anciens et tels que la nouvelle origine Oi a pour coordonnées, par rapport aux anciens axes, Xi = Oo, = ow et zi = wô, ;

Enfin soient x' — 0,?»] 2/'=m,[J-, et 3'^p.,M les coordonnées du point M par rapport aux nouveaux axes.

Une démonstration analogue a celle qui a été faite, pour le cas de diux axes, montrerait que l'on a toujours, en vertu du théorème des segments,

x — xi -f- x' V = Vi +?/'