Recherche du maximum ou du minimum d une fonction
(a) Maxima ou minima pouvant être trouvés par une méthode élémentaire. — La recherche des maxima et des minima d'une fonction quelconque est un problème d'algèbre supérieure. Nous pouvons cependant trouver par des moyens élémentaires ce maximum ou ce minimum :
10 Dans le cas où la fonction et la variable sont liées par une équation où la variable n'entre qu'au premier et au second degré ;
2° Dans certains cas particuliers où la fonclion dépend de puissances de la variable supérieures au second degré et dans d'autres où la fonction dépend à la fois de plusieurs variables liées entre elles par une relation.
Une fonction du \e' degré de la forme
y = ax + b
est toujours croissante si a est positif, et toujours décroissante si a est négatif ; elle n'a donc ni maximum ni minimum.
Une fonction du 2° degré de la forme
y = ax1 + bx ■+ c a un maximum ou un minimum, suivant que a est négatif ou positif.
En effet, nous avons vu (n° 12) qu'on peut l'écrire
Dans la partie cnlre crochets, la seule quantité variable est \x \ ^â)
qui est essentiellement positive, et dont la plus petite valeur possible est zéro,
donnée par x — — — •
ier Cas. — a est positif.
Alors la valeur .r —
*ac--b* ia
la
doune pour y un minimum qui est
Pour toute valeur de .r différente de
la valeur b
de y sera plus grande que j/, ; si on donne à x. les valeurs x — — ^ -+- h h, les valeurs correspondantes de y seront égales entre elles,
et x :
plus grandes que yu et d'autant plus grandes que h sera plus grand ; donc pour la valeur x — — ^> 'a fonction cesse de décroître pour croître, et passe bien par un minimum.
2e Cas. — a est négatif.
11 faut alors prendre en signe contraire les valeurs obtenues pour y dans le cas précédent ; lorsqu'on fait x = — ^ la fonction cesse de croître pour décroître et passe, par suite, par un maximum.
(b) Maxima ou minima dépendant d'une équation du 2e degré.
On commence d'abord par résoudre le problème suivant :
Calculer la valeur que doit prendre la variable xl pour que la fonction ;/ prenne une valeur yr
L'équation de ce problème étant du second degré, le problème n'est possible que si les racines de l'équation sont réelles.
La condition de réalité des racines dans l'équation ax? -f- bx + c = 0 est
62 — \ac X 0.
Cette inégalité, dans les termes de laquelle entrera la valeur ijy qu'on a attribuée a y, pourra se ramener à l'une des formes suivantes :
1° yt ^ /.' et il y aura un minimum qui sera y, = le, cette valeur étant la plus petite que puisse prendre y pour que le problème soit possible.
2" »/i k, et il y aura uu maximum qui sera yt = /,'.
(c) Maximum d'un produit de facteurs variables. — 1° Théorème I. — « Le produit de deux facteurs variables, dont la somme est cons- « tinte, est maximum quand ces facteurs sont égaux. »
En effet, soit a -+■ b — 2k, quantité constante par hypothèse. Supposons que a et b soient inégaux et que l'on ait a = k -j- a et par suite 6 = k — a.
Le produit ab sera
ab = [k H- a)(ft — a) = jp — oc*.
Il est évident qu'il sera maximum lorsque le terme à retrancher sti sera nul et alors on aura : a = b — k. C. Q. F. D.
2" Théorème II. — « Le produit d'un nombre quelconque de facteurs « variables positifs, dont la somme est constante, est maximum quand tous « ces facteurs sont égaux. »
En effet, si deux de ces facteurs ne sont pas égaux entre eux, ou pourra toujours les remplacer par deux autres qui, tout en ayant la même somme que les deux premiers, seront égaux entre eux : dès lors, le produit de ces deux nouveaux facteurs sera plus grand que celui des deux anciens et le produit final augmentera.
Il en sera de même tant que les facteurs ue seront pas tous égaux entre eux. Donc le maximum aura lieu lorsque tous les facteurs serout égaux. C. Q. F. D.
3° Théorème III. — « Le produit de plusieurs facteurs variables positifs « dont la somme est constante, et qui sont affectés d'exposants, est maximum « quand ces fadeurs sont proportionnels à leurs exposants respectifs. »
Soit a -f- b -f- c = k (constante) des facteurs dont la somme, k, est constante ; on demande de trouver le maximum du produit
y — aab2ci.
Ce produit peut s'écrire :
y = ta X a X a)(b X b)(c X c X c X c). 11 sera maximum en même temps que l'expression
la .a ,a\/b b\ I c c c c\ Z=(3X3X3)U><2)(î><i><4X4)- Mais dans cette dernière, qui est composée de 9 factours, la somme de ces facteurs est a -\- b c — k : elle est constante par hypothèse ; il faut donc pour le maximum que les facteurs soient égaux entre eux, c'est-à-dire que l'on ait :
(Ce théorème a été appliqué au n° 234 de l'ouvrage).
