MI2 = IP2 4- PM

Or ll> — x — x, et PM = y — Vi, on a donc :

R2 = {x — -Ti)2 + (î/- yi)2- Cette équation développée devient :

x2 -h y2 — 2xxl — 2yy{ -+- x\ + y2 — R- = 0.

Fi*. 36 Fig. 37

Elle est du second degré ; les termes en X2 et y- ont le même coefficient qui est l'unité : il n'y a pas de terme du second degré en xy.

Cette équation est de la forme générale

x'- -t- y2 + Ax H- iiy -+- C = 0 et nous verrons que toute équation ayant cette forme représente un cercle.

[b) Problème. — Connaissant l'abscisse d'un point d'un cercle donné par la position de sou centre et par son rayon, trouver l'ordonnée de ce point.

Tirons de l'équation du cercle trouvée plus haut la valeur de y : l'équation peut être écrite :

y2 — ïyyi + *2 + x\ + y\ - 2xx, — \\2 = o,

d'où, en résolvant celle équation du second degré en y (v. n° 13-fc),

NOTIONS DE GÉOMÉTRIE ANALYT1Q1 E

y = yi

sfyj-

2xxi — H-),

Il = y, 2= JW — (a? — A chaque valeur de x correspondent donc deux valeurs de y, et par suite deux points M et M' situés de part et d'autre et à égale distance de la droite IP menée par le centre parallèment à l'axe des x.

Une discussion analogue à celle du n° 43-6 montrerait : 1° que pour toute valeur de x comprise entre [tx — R) et [x, 4-lî) il y a deux valeurs de l'ordonnée ; 2" que pour x = x, — R ou x =Xi -\- 1!, il n'y a qu'une seule valeur de y. qui est y = yt et deux points sur le diamètre IP : 3° enfin, que pour toute valeur de x plus petite que Xi — 1!, ou plus grande que Xi 4- R, il n'y a pas de points du cercle répondant à cette abscisse.

(c) Problème inverse. — Etant donnée une équation du second degré de la forme x2 4- y2 + >\x + % + c = (K construire le cercle qu'elle représente.

On cherchera : 1° les coordonnées x, cl yt du centre ; 2° le rayon R. Si on connaissait ces Irois quantités, on aurait pour L'équation du cercle a* 4- y2 2ïxt - 2yyt + x\ ■+ yh - R2 = 0.

Cherchons quelles valeurs il faut donner à Xi, a yt et à R pour que cette équation soit identique à l'équation proposée. Nous devrons avoir

— 2x, = A *ï-f-y»Ri = C,

Il ou

'on tire.

d'où

Cette identification pourra toujours être faite

par suite l'équation

x2 + y- -+- A.r -+- \\y 4- C = 0 représentera toujours un cercle.

Exemple. — Construire le cercle x2 4- î/2 — 4x 4- Oy — 3 = 0.

D'après ce qui vient d'être dit, ou a pour les coordonnées du centre l,

4 6 xl = - = 2 et m = — - = —3,

et pour le rayon

lô. Tangente au cercle.

(a) Tangente en un point (as'?/') du cercle. — Nous supposerons que le centre du cercle est à l'origine. Toute droite passant par le point x'y' a pour équation y — ?/' = m(x — x') (v. n" 35).

Nous écrirons qu'elle est tangente au cercle en donnant à sa pente m la valeur convenable pour que celle droite soit perpendiculaire au rayon qui passe par le point donné (fig. 38).

Ce rayon a pour pente — ; • on aura donc (\

L'équation de la tangente est par suite

ou y y + xx = x'1 4- y -,

et comme le point (x'y') est sur le cercle, on a x'3 -(- y'2 — R2

et l'équation de la tangente devient :

yy' ■+- X%' — R2.

Remarquons qu'elle se déduit de l'équation du cercle qui peut être écrite V X V -+- X X x — R3 en remplaçant un facteur x par x' et un facteur y par y'.

(b) Tangente menée au cercle par un point extérieur. — Corde des contacts (lîg. 39). — Soit à mener au cercle une tangente par le point P dont les coordonnées sont X et Y. Si nous connaissions les coordon-

nées x' et if du point de contact, l'équation de la tangente serait, d'après ce qui précède :

xx' + y y' — R2

et comme elle doit passer au point P, l'équation devra être vérifiée par les coordonnées de ce point ; on aura donc (I) Xx' -f Yy' - R2 ;

Fig. 38

Fip. 39

cette équation, jointe à l'équation

qui indique que le point (T'y') est sur le cercle, permettra de déterminer les coordonnées x' et y' du point de contact. Tirons de la première équation la valeur de y' et portons-la dans la seconde ; nous obtenons l'équation du second degré en x' qui nous donnera f'abscisse x' de l'un des points de contact. x'2(\2 + Y2) — 2R2Xx' -f- R2(R2 — Y2) — 0

Les racines de l'équation seront réelles si l'on a :

R',*2 — R'2(R2 — Y2)(X2 -f- Y2) 0 ou, en simplifiant : X2 -f- Y2 \^ R2.

1° Si X2 4- Y2 > R2, c'est-à-dire si le point P est extérieur au cercle, il y aura deux racines et par suite deux tangentes ;

2« Si X2 + Y2 = R2, le point P est sur le cercle, il n'y a qu'une tangente au cercle en ce point ;

3° Si X2 4- Y2 < R2, le point P est dans l'intérieur du cercle et il n'y a pas de racines ; on ne peut pas eu effet mener à un cercle une tangente par un point intérieur.

Dans le cas où il y aura deux points de contact, les coordonnées (x'y') et (x"y") de ces deux points satisfont à la fois aux équations (1) et (2) ; par suite l'équation

est satisfaite lorsqu'on y fait x = x' et y — y' et aussi lorsqu'on y fait x = x', y =y<.

Elle représente donc une droite qui passe par les poiuts de contact des tangentes issues du point P, et on l'appelle pour cette raison la corde des contacts.

On voit que cette équation est de la même forme que celle de la tangente ; mais x' et y' , coordonnées du point de contact, y sont remplacées par X et Y coordonnées du point de concours des deux tangentes.

46. Du pôle et de la polaire dans le cercle. — (a) Définitions. — La corde des contacts des tangentes issues du point P dont les coordonnées sont X et Y a pour équation (fig. 39) Xx 4- Yy = R*.

Cherchons le point C où elle coupe l'axe des x; en faisant y = 0, nous trouvons

ce qui nous montre que pour tous les points P ayant la même abscisse, c'està-dire situés sur une même perpendiculaire à l'axe des x, les cordes des contacts des tangentes issues de ces points P passent toutes en un même point

C situé sur l'axe des x, et dont l'abscisse est — (v. fig. 39).

XX COMPLEMENTS DE MATHEMATIQUES

Réciproquement, si on mène par le point C des cordes dans le cercle, le lieu géométrique des points d'intersection des deux tangentes menées au cercle par les extrémités de chacune des cordes, sera la droite PP' perpendiculaire à l'axe des x.

Le point C s'appelle le pôle de la droite PP' par rapport au cercle, et cette droite PP' est la polaire du point C.

(6) Positions relatives du pôle et de la polaire. — La valeur

x ==■ ~ nous montre que :

1° Si le pôle C est à l'intérieur du cercle, son abscisse x est plus petite que le rayon et alors X est plus grand que le rayon ; la polaire ne coupe pas le cercle ;

2° Si le pôle C est sur le cercle , alors x = R et X = R ; la polaire passe par le point C et est tangente au cercle en ce point ;

3° Si le pôle C est extérieur au cercle, x est plus grand que R et alors X est plus petit que R ; la polaire coupe le cercle.

En résumé, si l'on déplace le pôle C sur le rayon, lorsque le pôle est au centre, la polaire est à l'infini ; le pôle s'éloignant du centre, la polaire se rapproche du cercle, et elle lui devient tangente quand le pôle est sur la circonférence. Enfin le pôle sortant du cercle, la polaire y entre, et lorsque le pôle s'éloigne, la polaire se rapproche encore du centre ; elle y arrive quand le pôle est à l'infini. Ainsi, le pôle s'éloignant du centre, la polaire s'en rapproche, et réciproquement.

(c) Remarque. — De ce qui précède il résulte que : 1° le pôle d'une droite est situé sur le rayon perpendiculaire à cette droite ; 2° le rayon est moyen proportionnel entre les distances du pôle et de la polaire au centre du cercle.

td) Théorème. — « Les polaires de tous les points d'une droite passent « par le pôle de cette droite, et, réciproquement, les pôles de toutes les droites « passant par un même point fixe sont situés sur la polaire de ce point fixe. »

Soit la droite AB dont le pôle est d'après ce qui précède le point C situé sur le rayon OF perpendiculaire à AB, et tel que Von a : OC x OF = R2. Un point D de cette droite AB a pour polaire la droite EG perpendiculaire à OD et coupant ce rayon au point E, de telle sorte que l'on ait (fig. 40) OEXOD = R2.

Soit C le point où cette droite EG coupe le rayon OF ; nous allons prouver que C' se confond avec C. Kn effet les triangles semblables OC'E et ODF donnent : (Le point C' n'est pas marqué sur la fig. 40.)

oe ocr