OF — OD

d'où OE X OD' = OF X OC = R2

et OE X OD = OE X OD' ;

donc OD = OD'

et le point D' pôle de la droite EG qui passe au point C est situé sur la polaire AB du point C. 11 en serait de même pour toutes les droites passant au point C. Le théorème est donc démontré.

(e) Équation de la polaire d'un point (XY) par rapport au cercle.

1° La polaire d'un point extérieur au cercle est donc, d'après le théorème précédent, la corde des contacts des tangentes issues de ce point; son équation sora donc

Xx + Yj/ = Rî.

2» Si le point est sur le cercle, sa polaire est la tangente au cercle en ce point ; son équation est encore

\x + Xy = R2 .

3° Si le point est dans l'intérieur du cercle, sa polaire est le lieu des points de rencontre des tangentes menées aux extrémités des cordes passant par ce point. Soient p et q les coordonnées d'un point quelconque de la polaire, la corde des contacts correspondant à ce point aura pour équation px + qy — R2

et comme elle passe au point (XY) son équation est satisfaite par les coordonnées de ce point ; donc on a

p\ -f qX = R2.

Les coordonnées de tous les points de la polaire satisferont par suite a une relation analogue à celle-ci, et son équation sera Xx + Xy = R2.

Conclusion. — Donc, dans tous les cas, l'équation de la polaire d'un point (XY) est:

Xa; + Xy = R2.

Cette équation est toujours de même forme que celle de la corde des contacts des tangentes issues du point XY'.

Fig. 40

Fiff. 41

47. Antipôle et antipolaire. — (a) Définitions. — Soit un point P (fig. 41) dont la polaire est la droite AB ; prenons en P' le symétrique du point P par rapport au centre ; le point P' sera dit Vantipôle de la droite

Prenons la polaire A'B' du poiut P" ; elle est symétrique de AB par rapport au centre, et on l'appelle iantipolaire du point P.

Réciproquement le point P est l'antipôle de A'B'; et AB est l'antipolaire du point P'.

(6) Équation de l'antipolaire d'un point (XY) par rapport au cercle. — Le point symétrique du point donné par rapport au centre aura pour coordonnées (— X) et (— Y). Sa polaire, qui est par définition l'antipolaire cherchée aura donc pour équation

Xa; — Xy = \U ou encore

Xx + Xy = R* ;

c'est l'équation de la polaire dans laquelle on a changé le signe du second membre .

§ S. — Etude analytique de la parabole