Définition et construction de la parabole. Propriétés

immédiates. — (a) Définition. — La parabole est une courbe plane, lieu géométrique des points également distants d'un point fixe appelé foyer et d'une droite fixe appelée directrice.

(frj Construction de la courbe (fig. 42).

1° Tracé par points. — Abaissons du foyer F la perpendiculaire FG sur la directrice DD' ; le point A, milieu de FG, est évidemment un point de la courbe car il est à égale distance du foyer et de la directrice. Menons une

NOTIONS DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE

parallèle IM a la directrice ; prenons la dislance IG de celte droite à la directrice, et décrivons du foyer F, comme centre, avec IG comme rayon une circonférence ; elle, coupe la droite 1M en deux points M et M' qui appartiennent a la courbe.

11 est évident, d'après ce tracé, que la parabole est symétrique par rapport à la droite FG qu'on nomme son axe.

Fin. 42 Fig. 43

2o Tracé d'un mouvement continu. — On fixe au sommet C d'une équerre un fil ayant, comme longueur, la longueur du côté CT de l'angle droit de cette équerre ; puis, plaçant une règle le long de la directrice, on dispose l'équerre de manière que son deuxième côté de l'angle droit TD, soit sur la règle, et on fixe l'extrémité libre du fil au foyer F de la parabole à tracer. On tend le fil suivant CMF au moyen de la pointe d'un crayon placée en M, contre la règle ; après quoi on déplace l'équerre le long de la règle en maintenant toujours le fil bien tendu, la poinle du crayon restant toujours le long du côté CT de l'équerre.

Ou aura toujours CM -f- MF ■= CT, d'où MF = MT

et la pointe M du crayon décrira la parabole.

[c) Points à l'intérieur ou à l'extérieur de la courbe.

1° Tout point situé à i intérieur de la courbe, c'est-à-dire du côté où est le foyer, est plus près du foyer que la directrice (fig. 42).

Soit le point N situé à l'intérieur de la courbe on a; NF <; NK.

En effet, pour le point L appartenant à la parabole, on a LF = LK ; et dans le triangle FNL, on a :

FN < NL -V- FL ou FN < NL + LK

ou enfin FN < NK. C. Q. F. D.

2° Tout point situé à l'extérieur de la courbe, c'ust-k-dire du côté où est la directrice, est plus près de la directrice que du foyer. Une démonstration analogue à la précédente montrerait que, pour un point N' situé à l'extérieur de la courbe, on a

La ligne MF ou LF, qui joint un point de la courbe à son foyer, s'appelle un rayon vecteur.

(d) Propriétés immédiates de la courbe.

De ce qui précède il résulte que :

1» La courbe est symétrique par rapport à son axe, qui est la perpendiculaire abaissée du foyer sur la directrice.

2» Le point A milieu de la perpendiculaire abaissée du foyer sur la directrice est le sommet de la parabole.

3° La distance FA du foyer de la courbe a son somme^ détermine la forme de la courbe ; nous l'appellerous son paramètre ou encore sa distance focale, et nous la désignerons par la lettre p'.