Equation de la tangente à l'ellipse

I. L'ellipse est rapportée à ses axes. — (a) Tangente en un point de l'ellipse. — L'ellipse étant la projection d'un cercle décrit sur son grand axe comme diamètre, un point M' de l'ellipse dont les coordonnées sont x' , y' est la projection d'un point M du cercle dont les coordonnées ay'

sont x' et —g- (on peut suivre sur la fig. 65, en y supposant OA parallèle à O'A').

La tangente MT en ce point M du cercle a pour équation (v. no 45) :

+ xx'

d'où

b la2 — xx'\

On obtiendra les ordonnées de la tangente MT à l'ellipse en réduisant celles de la tangente au cercle dans le rapport de b à a. L'équation de la tangente à l'ellipse sera donc b2 (a2 — xx'^

ou

•HL l XJL — \

(6) Tangente menée à l'ellipse par un point extérieur Corde des contacts. — Eu raisonnant comme dans le cas du cercle, on reconnaît que la corde des contacts des tangentes issues d'un point (apj a pour équation (a et 3 sont les coordonnées du point donné) :

On reconnaîtrait qu'il y a :

1° Deux points de contact si l'on a

c'est-à-dire si le point (ap) est à l'extérieur de l'ellipse. 2° Un seul point de contact si

et alors le point (013) est sur l'ellipse

NOTIONS DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE

3° Pas de point de contact si

dans ce cas, le point (a3) est dans l'intérieur de la courbe. 11. L'ellipse est rapporte'e à deux diamètres conjugués (lig. 65).

(a) Tangente en un point de l'ellipse. — L'ellipse étant la projection d'un cercle la tangente M'T à l'ellipse est la projection de la tangente MT au cercle. Son abscisse à l'origine est O'T', projection de OT abscisse à l'origine de la tangente au cercle. De môme son ordonnée à l'origine O'S' est la projection de OS, ordonnée à l'origine de la tangente au cercle. (Voir fig. G5.)

Ou a les relations :

OT OA Orn O'T' — O'A' ~~ OW '