OK'2 = OB2 -+- BK2 — 2BK X BL

et comme il vient :

BL = OB sin BOL = b' sin 0,

2a'b' sin 0,

donc

OK ou son égal

OK2 = a'2 + b'2 MN = a — b.

De plus, dans le cercle, les deux sécantes BN et BK issues du point B douueut :

BM X BN = BL X BK = a b' siu 0- BM et BN,dont la différence est (a—b) et dont le produit est a'b' sin 6 sont donc bien les deux demi-axes de l'ellipse, en grandeur.

Erratum (fiv,. 64) : Ecrire B au point symétrique de B' par rapport au centre 0 ; et écrire M au lieu de relui des deux points N qui est le plus haut.

Fig. 64 Fig. 65

Menons les droites OM et ON, ce sont les deux axes en position.

Le point B appartient bien, en effet, a l'ellipse don1 les axes sont dirigés suivant OM et ON' et ont pour demi-longueurs a et 6, et ceci à cause de la propriété donnée (n° M-b) permettant de tracer l'ellipse par la bande de papier au moyen de la différence des axes. Le point B' symétrique de B par rapport au centre appartient à la même ellipse ; enfin il eu est de même des

points A et A' puisque AA' est le diamètre conjugué de BB' dans l'ellipse qui a pour axes a et 6, en vertu des théorèmes d'Apollonius.

65. Equation de l'ellipse rapportée à deux diamètres conjugués (coordonnées obliques) (fig. (35).

D'après ce que. nous avons dit, l'ellipse est la projection d'un cercle ; deux diamètres conjugués O'A' et O'B' de l'ellipse sont les projections de deux diamètres rectangulaires OA et OB du cercle.

Un point M du cercle se projette en M' sur l'ellipse, et ses coordonnées, si ou prend pour axes O'A' et OB' sont O m'= x et m'M' = y.

Mais M'm' est la projection de Mm qui est perpendiculaire à OA dans le cercle. Nous avons alors les relations

M'm' O'B' Mm ~ W O'm' OjV Om ~ OA ' M'm' X OB y X OA

et

d'où

et

Mm =

Om =

O'B' b' ' O'm' X OA xXOA

Et comme dans le cercle, on a

Mm2 + Om2 = OA2,

il en résulte :

y2 X OA2 xi X OA2

ou

C'est l'équation de l'ellipse rapportée â deux diamètres conjugués ; elle est de même forme que l'équation obtenue en rapportant la courbe à ses axes.