Pôle et polaire dans l'ellipse

(m) Propriétés du pôle et. de la polaire. — L'ellipse pouvant toujours être considérée comme la projection d'un cercle, les propriétés du pôle et de la polaire seront déduites de celles trouvées dans le cas du cercle.

1° Si par un point fixe on mène des droites rencontrant une ellipse, et que par les poiuts d'intersection de ces droites avec la courbe, on lui mène des couples de tangentes, les points d'intersection de ces tangentes sont en ligue droite ; cette droite est la polaire du point fixe, qui est \cpôle.

2° Le pôle étant à l'intérieur de la courbe, la polaire est à l'extérieur ; elle part de L'infini lorsque le pôle est au centre de l'ellipse, pour lui devenir tangente lorsque le pôle est sur la courbe ; le pôle devenant extérieur à l'ellipse, la polaire coupe la courbe et elle vient passer au centre lorsque le pôle s'est éloigné à l'infini.

3" Le pôle d'une droite est situé sur le diamètre conjugué de la direction de cette droite ; la moitié de ce diamètre est moyenne proportionnelle entre les deux longueurs, comptées sur ce diamètre, du centre au pôle, d'une part, et du cenlre à la polaire d'autre part.

1° Les polaires de tous les points d'une droite passent par le pôle de cette droite, et réciproquement, les pôles de toutes les droites qui liassent par un point lixe sont situés sur la polaire de ce point.

(b) Equation de la polaire. — La polaire d'un point (a p) par rapport à l'ellipse a pour équation (5y ctx

\ , si l'ellipse est rapportée à ses axes ;

PU eux ,. . .

^ -+- — i , si l'ellipse est rapportée à deux diamètres conjugués.

68. Antipôle et antipolaire par rapport à l'ellipse. — Vantipôle d'une droite est le point symétrique, par rapport au centre de l'ellipse, du pôle de cette droite.

Vantipolaire d'un point est la droite symétrique, par rapport au centre de l'ellipse, de la polaire de ce point.

L'équation de l'antipolaire d'un point (a|3) est

g5"~t î = — si l'ellipse est rapportée à ses axes ;

?V rj-x

~ -\ ~2 = — 1 , si l'ellipse est rapportée à deux diamètres conjugués.

6'.». Notions sur les polaires réciproques.

!a) Définition. — Considérons dans un plan un contour polygonal ABCF dont nous numérotons les côtés 1, 2, 3, 1 et 5, et une ellipse D ; prenons les pôles l','Sf, 3', 4' et 5' des côtés du contour par rapporté l'ellipse ; joignonsles ileux ;i deux par les droites a, b, c, d. D'après les propriétés démontrées des pôles et polaires, ces côtés a, b, c et d seront les polaires des sommets A, 15, C et D de la figure proposée. Ainsi les sommets de l'une des figures seront les pôles des côtés de l'autre, et réciproquement; ce qui leur a fait donner le nom de figures polaires réciproques ; l'ellipse s'appelle ellipse directrice.

Remarque. — • Si plusieurs points sont en ligne droite dans une ligure, les droites qui leur correspondent dans sa polaire réciproque passent par un même point, et réciproquement.

(b) Application. — Trouver la figure polaire réciproque du contour d'un rectangle par rapport à une ellipse ayant même centre, et ayant ses axes parallèles aux côtés du rectangle.

Cette figure est un losange dont chaque sommet est le pôle de l'un des côtés du rectangle, et dont chaque côté est la polaire d'un sommet du rectangle.

a et & étant les demi-axes de l'ellipse, m et n, les demi-dimensions du rectangle, les demi-diagonales du losange sont :

b3 a3 01 - - et 02 = -•

(C) Définition. — Une ellipse directrice D, étant donnée ainsi qu'une courbe C, on appelle courbe polaire réciproque de la première par rapport à l'ellipse, une courbe C telle que la droite polaire d'uu point M' île cette courbe par rapport à l'ellipse I) soit tangente à la courbe C ; et réciproquement, la droite polaire d'un point de la courbe C sera tangente a la courbe C.

(d) Construction de la courbe polaire réciproque d'une courbe donnée par rapport à une ellipse. — La courbe C étant donnée, menons-lui des tangentes aux poiuts A et I! ; les polaires a et b de ces deux points par rapport h l'ellipse sont tangentes à la courbe C.

Le pôle de la droite AE est le point 1' de la droite a, celui de BE est le point 2' de la droite b ; les points 1' et 2' sont sur la courbe C' et les droites a et b sont respectivement tangentes en ces points à la courbe C.

\\\ COMPLEMENTS DE

La droite l'2' est la polaire ■ 1 1 1 point Y. d'intersection des tangenles à la courbe C.

De là le moyen de construire la courbe C jint- points et tangentes.

Remarque. — Si la courbe C est symétrique par rapport au centre de l'ellipse directrice, la courbe f/ sera également symétrique par rapport au centre de cette même ellipse directrice.

(e) Application. Polaire réciproque d'un cercle par rapport à un cercle de même centre. — Celle courbe est un autre cercle de même centre que les deux premiers : r étant le rayon du cercle directeur, R le rayon du cercle donné, le rayon R' du cercle cherché a pour valeur

MATHEMATIQUES

{f) Antipolaires réciproques. — Définition et construction. —

Une ellipse directrice D étant donnée, ainsi qu'une courbe C, on appelle courbe antipolaire réciproque de la courbe C par rapport à l'ellipse une courbe C* telle que la droite antipolaire d'un point M' de cette courbe par rapport à l'ellipse soit tangente à la courbe C ; et réciproquement, la droite autipolaire d'un point de la courbe C sera tangente à la courbe C".

La construction de la courbe C" se fera en menant des couples de tangentes à la courbe C et prenant les antipolaircs de leurs points de contact et de leur point de reucontre ; ces droites fourniront deux tangentes à ]a courbe C" et la corde de contact de ces tangentes (y. Stabilité, n° 319).

Remarque. — Si la courbe C est symétrique par rapport au centre de l'ellipse, son antipolaire réciproque C" le sera également, et de plus elle sera confondue avec la courbe polaire réciproque C de la courbe C.

§7. — Etude analytique de l'hyperbole