AF = AT

et AF' — AF = M :

de même A'F — AT" — 2a.

Prenons un point I1 sur AA' : du point F' comme centre avec A'P comme rayon décrivons un arc de cercle ; du point F comme centre avec PA comme rayon décrivons un second arc de cercle qui coupe le premier en deux points N el N", symétriques par rapport à AA' ; ces deux points appartiennent à la courbe : donc la droite AA' est un axe de la courbe ; on l'appelle Vaxe transverse. Nous pouvons faire la même construction en prenant F comme centre d'un cercle de rayon A'P et F' comme centre d'un cercle de rayon AP ; les deux points ainsi obtenus seront symétriques des points N et N', obtenus précédemment, par rapport à la droite Rli' perpendiculaire, au point O, à AA' ; cette droite RB' est aussi un axe de la courbe. La construction indiquée n'est possible que si le point P est en dehors du segment FF' de l'axe ; pour avoir Ions les points de la courbe, il faut faire occuper au point P toutes les positions possibles sur le prolongement de OF dans le sens OF. La courbe se compose donc de deux branches infinies symétriques par rapport à RR' et à AA'. Il n'y a pas de points de la courbe sur RR', c'est pourquoi cet axe est appelé axe non transverse. Cependant, on convient d'appeler longueur de cet axe une longueur 1b telle que b2 = c2 — a2, 2e étant ta distance focale FF'.

Le point de rencontre des axes est le centre de la courbe.

(c) Propriétés immédiates de l'hyperbole. — 1° L'hyperbole a deux axes perpendiculaires cuire eux : l'un, l'axe transverse, est la droite qui joint les foyers et les points A et A' de la courbe situés sur cet axe sont les sommets de l'hyperbole; l'autre, l'axe non transverse, est perpendiculaire à FF' en sou milieu.

2° Par définition, on a entre la dislance focale et les longueurs des axes la relation

71. Equation de l'hyperbole rapportée à ses axes (fig. 67). — Soient X et y les coordonnées d'un point M de la courbe; par définition, on a :

MF' — MF = 2a.

Dans le triangle rectangle MmF', on a :

MF'- = Mm +mV'*, ou MF'2 = y2 -H (c -f- oc)2, d'où MF' == Jy* -f- (c-hxf.

Dans le triangle MmF, on a :

MF2 = Mm2 -f- ni F2, ou MF2 = y2 + (x — c)2, d'où MF = >Jy2 + {x — c)2.

F' lA'

0 Al F; m P

Fig - 67

On aura donc

\fy2-h{x-\-c)2 — sjy2 -+-{x — c)2 = 2a. Faisons passer le deuxième radical dans le second membre de l'équation, et élevons les deux membres au carré, il vient :

y2 -+- (x c)2 = ia2 ■+ y2 -f- [x — c)2 -f- 4a y/i/2 + [x — c)2, que nous pouvons écrire après simplification :

ex — a2 — a\Jy2 -+- (x — c)2.

Elevons les deux membres au carré, il vient :

c2x2 -+- a4 — 2a2cx — a2 y2 -f- a2x2 -+- a2c2 — 2a2ca;, ou — «2(c2 — a2) = a2y2 — x2 [c2 — a2),

et comme C" — a2 =z b2, l'équation devient

— a2b2 = a'2y2b — 2x2, ou en divisant les deux membres par a*62

Telle est l'équation de l'hyperbole rapportée à ses axes. 72. Asymptotes de l'hyperbole.

(a) Définition. — Une asymptote à une branche de courbe infinie est une droite dont la courbe s'approche indéfiniment, de manière que la distance d'un point de la courbe à la droite ait pour limite zéro, lorsque le point considéré s'éloigne à l'infini sur la courbe.

(b) Théorème. — « Si une droite, non parallèle à l'axe des y, est asymptote ci à une courbe, la différence entre les ordonnées d'un point de l'asymptote et d'un

NOTIONS DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE

« point de la courbe, ayant même abscisse x, tend vers zéro lorsque l'abscisse x „ croît indéfiniment. » En efl'et : (fig. 68)

Soit M un point de la courbe, MP sa distance à l'asymptote, distance qui, par définition, tend vers zéro lorsque l'abscisse croit indéfiniment.

La différence MN désordonnées du point M de la courbe cl du point N de l'asymptote est

MN = MP , sin MNP

et comme l'angle MNP que fait l'asymptote avec l'ordonnée est constant et différent de zéro, la longueur MN tendra vers zéro en même temps que MP, c'est-à-dire lorsque l'abscisse croit indéfiniment. ('.. Q. F. I).

Fig. 68

\yy

Fig. 68 bis

(e). L'hyperbole a deux asymptotes qui sont les diagonales

du rectangle des axes. — Considérons les diagonales du rectangle des

axes ; ce sont les droites ayant pour équations

b , b y — -x et y = x.

Prenons un point M d'abscisse x sur l'une des branches de la courbe et cherchons la différence entre l'ordonnée de ce point et celle du poiut N

, • b de même abscisse sur la droite y — —x.

L'ordonnée du point M qui est positive est, en tirant y de l'équation (1) du n» 71 :

y = - \Jx2 — à2 ; celle du point N est y' — — x.

La différence est —x ■ a

-Jx2 — a a

MN = - (x

\Jx2 — a'2),

X + yfa

qu'on peut transformer en multipliant et divisant par l'expression

MN = ah

dont la valeur tend vers zéro lorsque x tend vers l'infini. , , • b

La droite y = -x est donc asymptote a la branche supérieure droite de la a

courbe. On démontrerait de même qu'elle est asymptote à la branche inférieure

de gauche : et que la droite '/ = — — x est asymptote à la branche inférieure

droite et à la branche supérieure gauche de l'hyperbole. Les deux branches de la courbe sont situées dans les angles opposés par le sommet qui renferment les foyers.

(d) Equation de l'hyperbole rapportée à ses asymptotes. —

Soient x et y les coordonnées d'un point de la courbe rapportée à ses axes, et soient x' — Om' et y' — m'M les coordonnées du même point, la courbe étant rapportée à ses asymptotes OXi et OYi (fig. OS bis;.

Projetons sûr OX cl sur OY les deux cheminements OmM et Om'M terminés aux mêmes extrémités, 0 et M; nous aurons, en appelant a l'angle d'une asymptote avec l'axe OX (v. Théorème des projections n° 20):

x = [x' -+- y') cos a, y = (y' — x') sin a, sin a —

il vient

et comme tiî ce — — , ou a

(v. Trigonométrie n° 27-c) :

En portant ces valeurs dans l'équation de l'hyperbole qui est

ou kx'y' — a2 + b2,

, , a2 4- b1 c2 ou xy = =V

équation de la forme xy = K2, K étant une quantité constante : telle est l'équation de la courbe rapportée à ses asymptotes.

73. Hyperbole déterminée par le mouvement d'une droite. Tracé par la bande de papier.

(a) Théorème. — Deux droites OX et OY étant données, ainsi qu'uu point fixe M entre ces deux droites, si on mène par le point M une droite rencontraul les droites OX et OY respectivement en N et P, et qu'on prenne sur cette droite une longueur PQ = MN,| le lieu géométrique du point Q est une hyperbole passant au point M et ayant pour asymptotes les droites OX et OY. (Le lecteur fera lui-même la figure eu lisant le texte.)

Soient x' — Om cl y' = Mm les coordonnées du point M, qui sont connues, et soient x = Oq y — </Q les coordonnées du poiut Q.

Ou a par construction MN = PQ.

Les triangles égaux PQq\ MNzn donnent

Qq' = mN — x et Pq' = Mm = y'.

Les triangles semblables M/hN et l'm'M donnent

Mm5

Mais comme Pot' = Pq' q'

Mot Pu?'

z Om'

y on peut écrire

d'où

x y x ~ y' xy = xy,

et comme x'y' est constant, l'équation est bien celle d'une hyperbole rapportée à ses asymptotes et passant par le point M, car les coordonnées x' et y' de ce point M satisfont bien à l'équation.

Ït-X

Fie. 69

Fi». 70

Si on mène par le point .M nue sécante telle que MK rencontrant la partie OY' de l'axe des y, le point (• obtenu en prenant KG=ML appartient à la seconde branche de la courbe, et on le prouverait comme on l'a fait pour le point Q, en faisant voir que le produit de ses coordonnées est constant et égal à x'y'.

XXXIJ COMPLÉMENTS DE MATHÉMATIQUES

(6). Construction de l'hyperbole par la bande de papier, connaissant les asymptotes et un point de la courbe. — On

place la bande de papier dans une position quelconque <le manière que son liord passe par le point donné M, on y marque le point M et les points A et B où elle coupe les asymptotes; on la irtourne bout pour bout en plaçant B eu A, et on marque, en M', la nouvelle position du point M; c'est un point de la courbe cherchée (fi g. 63).

On répète la même opération pour diverses positions de la bande de papier.

74. Tangente en un point de l'hyperbole. — La tangente AN au point M de l'hyperbole est telle que la portion de cette droite comprise entre les asymptotes est partagée par le point M eu deux segments égaux. La tangente est, en effet, la limite des positions de la sécante MN lorsque le point N se rapproche du point M et vient se confondre avec lui; comme ou a toujours A'N = MB', à la limite on aura encore, lorsque la sécante sera tangente, AM=MB (fig. 70).

11 suffit donc pour construire la tangente au point M de mener la droite Mm parallèle à l'asymptote OY et de prendre wB = 0m, puis de joindre le point I? au point M.

75. Equation d'une hyperbole ayant ses asymptotes parallèles aux axes de coordonnées. — Soient a et b les coordonnées du centre de l'hyperbole. L'équation de la courbe rapportée à ses asymptotes est

xy — K2.

Si les axes sont déplacés parallèlement à eux-mêmes, la nouvelle origine a pour coordonnées, par rapport au centre, ( — a) et ( — b). Les formules de transformation sont alors (v. n» 16-b)

et l'équation par rapport aux nouveaux axes est

(a/ — <z)ty - b) - K2, ou comme X et y sont des coordonnées courantes, on supprimera les accents. On développe, ce qui donne, eu posant K2 — ab = K'2 :

xy — bx — ay — K2 — ab - K'2 ou xy ■+■ Ax + By — K'2.

Ce qui veut dire que :

« Toute équation du second degré, en x et eu y, dans laquelle manquent « les termes en x2 et en y2, autrement dit, qui ne contient comme terme du u second degré que le rectangle xy, représente une hyperbole dont les asymp- « tôles sont parallèles aux axes de coordonnées. »

On voit que sous cette forme, les coordonnées du centre de la courbe

sont

(abscisse) a = — B, (ordonnée) b — — A.

76. Equation d'une hyperbole ayant pour asymptotes deux droites quelconques. — Les deux asymptotes étant les droites

y = ax -+■ b et y = a'x + b',

si on rapportait la courbe à ces deux droites comme axes, son équation serait

(1) x'y'=KK

x' et y désignant les coordonnées dans ce nouveau système, on obtiendrait l'équation de la courbe rapportée aux axes primitifs en remplaçant dans l'équation (1) x' et y' par leurs valeurs en fonction de x et de y, coordonnées dans le système donné.

Nous ne savons pas calculer ces valeurs : mais dans le système X'OY' la première droite a pour équation y' = 0, tandis que dans le système XOY, elle a pour équation y — ax — b — 0.

La formule donnant y' en fonction de x et de y est donc telle que pour y' — 0 on a en même temps y — ax — b = 0 ; la valeur de y' est donc de la forme

y' z= m(y—ax — b),

m étant un facteur constant.

De même, la droite qui a pour équation x = 0 dans le second système a pour équation dans le premier y — a'x — b' — 0. Un raisonnement analogue nous amènerait à reconnaître que la valeur de x' est de la forme

x' = 7i (y — a'x — b'), n étant une quantité constante. L'équation de l'hyperbole est donc

mn (y — ax — b)(y — a'x — b') — K2, ou (y — ax — b)[y — a'x — b') = K'2.

Si dc'plus la courbe doit passer par un point donné, dont les coordonnées sont xt et i/i, son équation sera satisfaite par ces valeurs ; on aura donc

[yi — ax{ — b,(yl —a'Xi — b') = K'2,

et l'équation de l'hyperbole sci a

(2) (y — ax — b)[y — a'x — b') z=z (yl — axl — &)(»/, — a'xl — b') .

En résume : « Toute équation du second degré dont le premier membre est « le produit de deux facteurs du premier degré en x et en y représente une c< hyperbole ayant pour asymptotes les droites obtenues on égalant à zéro ces « facteurs du premier degré. »