Détermination graphique du rayon de giration

Si dans la construction du funiculaire précédent nous avions pris

d = f^^ + ft + f^Zf l'expression du moment d'inertie aurait été

mais o^f c'est précisément la surface donnée il; nous aurions donc pu écrire :

d'où l'on aurait déduit en appelant p le rayon de l'équation : ^ ou son égal p2,

Cette formule montre que : lorsque la dislance polaire est égale à la somme des forces élémentaires, la surface Lî' comprise entre le polygone funiculaire et ses côtés initial et final est égale à la moitié du carré du rayon de giration.

Remarque. — En prenant la distance polaire d égale à la moitié seulement de nf, on aurait eu,

ce qui pourrait présenter quelques avantages.

RECHERCHE GRAPHIQUE

!K'>. Cas où les éléments de surface ont des dimensions notables. — Dans ce que nous avons dit ci-dessus (nos9i et 95) nous avons supposé que les éléments trapézoïdaux suivant lesquels la surface donnée était décomposée avaient des dimensions très petites en largeur; proposons-nous maintenant d'étudier le cas où ces éléments ont des dimensions plus grandes.

Soit, par exemple, un trapèze ABCD(fig. 75) qui se trouve divisé par la droite BE en un triangle et en un parallélogramme. Le moment d'inertie de ce trapèze par rapport à la médiane GH est égal à la somme des moments d'inertie par rapport à la même droite 1° du triangle ABE, 2° du parallélogramme BEDC.

Appliquons à ce cas la méthode indiquée au n° 94 ; à cet effet, aux centres de gravité 0, et 02 imaginons des forces fl et f2 proportionnelles aux surfaces du triangle et du parallélogramme, puis construisons sur ces forces un funiculaire, et, puisque nous sommes libres de choisir la distance polaire que nous voudrons, prenons-la égale à fl + /V

Ainsi que nous l'avons dit (n° 94) la surface ^cj du funiculaire ainsi obtenu est proportionnelle à la somme des produits des surfaces élémentaires par le carré de la distance de leur centre de gravité à l'axe GH ; mais dans le cas actuel ces produits ne sont plus égaux aux moments d'inertie élémentaires.

En effet, le moment d'inertie du parallélogramme, par exemple, par rapport à l'axe GH est proportionnel au produit de la force f2 par le carré de sa distance à l'axe GH, augmenté du moment central d'inertie du parallélogramme (v. n° 76.)

h = (fal + U\) X K = Kf2 (xî 4- pi), K étant un coefficient dépendant de l'échelle adoptée pour les forces, on a de même

h = (fal + fi?î) X K = Kft(xl + pp.

Pour ramener dans ce cas la recherche du moment d'inertie à celle d'une surface nous pouvons procéder ainsi qu'il suit : traçons les ellipses centrales d'inertie Ot et 02 des aires élémentaires ; puis menons à ces ellipses, parallèlement à GH, les tangentes QB et TS; les distances de ces tangentes aux verticales OjU et 02F sont égales aux rayons de giration pl et p2 relatifs à la direction GH.

Menons l'horizontale BS qui rencontre les verticales des points 0, et 02 en X eten F : En portant sur ces verticales, en XU et FN, les rayons de giration trouvés, nous aurons

PU2 = x\ + 9\ et PN2 = ^ + ?22.

Si donc nous substituons aux forces fl et f2 deux autres forces qui leur soient égales et parallèles, mais qui soient placées par rapport au point P à des distances

PV = PU = /r? -+- ?l et PL = PN = y/xi -+- ?i

en construisant sur ces forces un nouveau funiculaire avec la distance polaire précédemment adoptée, la surface 6',c')l'I ainsi obtenue sera proportionnelle au moment d'inertie cherché et si, comme nous l'avons fait dans la fig. 75, on a eu soin de prendre la distance polaire égale à la somme des forces, la surface mesurée sur le funiculaire est précisément égale à la moitié du carré du rayon de giration. (V. n° 95.

Fig. 75

Nous avons évalué la surface b'^iVl par la méthode de M. Gollignon (v. n° 52), cette surface est égale au produit des longueurs

V$ X 3 (voir 3 et <zp sur la fig. 75), le rayon de giration est donc

R == V^pXo

STAIi.

MOMENTS D'INERTIE DES AIRES PLANES

Pour le construire portons bout à bout sur la verticale GH la longueur 2ap et à la suite la longueur 8 ;

Décrivons une circonférence sur la somme de ces longueurs comme diamètre puis, par le point Y, menons l'horizontale ZZ' ; la longueur YZ sera égale au rayon de giration.

On peut achever le tracé de l'ellipse en construisant le rayon de giration répondant à la direction parallèle à AD, rayon de giration dont nous avons donné la valeur au n° 91, et en remarquant que les directions AD et GH sont celles

de deux diamètres conjugués de l'ellipse centrale d'inertie.

On aura donc deux diamètres conjugués de l'ellipse d'inertie, ce qui permettra de la tracer (v. Ct).

97. Application (1). — Recherche du moment d'inertie d'un profil de rail à patin. — (a) Constructions préalables. — Soit ABC (flg. 76) un profil de rail dont nous

(i) Nous donnons cette application a titre d'exemple des ressources que présente la statique graphique. Le lecteur pourra passer cetle application dans une première lecture, ainsi, du reste, que tout ce paragraphe S.

voulons trouver le moment d'inertie, ou mieux, dont nous désirons déterminer l'ellipse centrale d'inertie , afin de pouvoir ensuite obtenir le moment d'inertie du protil répondant à une direction quelconque.

Nous pouvons dire, a priori, qu'en raison de la symétrie de

la figure ABC par rapport à la droite AA', cette droite contiendra le centre de gravité du profil et de plus sera un axe principal d'inertie.

Décomposons la surface donnée en tranches horizontales assez petites pour que les segments qu'elles interceptent sur

RECHERCHE GRAPHIQUE

le contour puissent, sans erreur sensible, être assimilés à

des droites; et, aux centres de gravité i, 2, 3, , 17 de ces

tranches, imaginons des forces horizontales /',, /'.,/',, fn

proportionnelles à leur surface. Nous pouvons remarquer,

en passant, que les centres de gravité 1, 2, 3 , 17 sont

tous situés sur l'axe A A' et qu'ils occupent très sensiblement le milieu de la hauteur des tranches, car celles-ci diffèrent peu de rectangles qui auraient pour base l'horizontale moyenne.

[b) Recherche du centre de gravité. — Nous commencerons par déterminer le centre de gravité de l'aire ABC et, pour cela, nous emploierons la méthode que nous avons indiquée au n° 67 ; nous construirons (III) un funiculaire sur

les forces fj'.2 fu et la rencontre du côté initial et du

côté final de ce funiculaire nous donnera un point de l'horizontale contenant le centre de gravité G cherché; ce centre de gravité, devant en outre se trouver sur la verticale AA', sera placé à l'intersection de ces deux droites.

Dans la Og. 7(5 (III), pour obtenir le funiculaire dont nous venons de parler nous avons employé le dynamique omn {i\ g. II) dont les forces sont verticales c'est-à-dire perpendiculaires aux forces fj2 fa ; cela semble en désaccord avec ce que nous avons fait jusqu'à présent; mais pour en déduire le funiculaire (III) au lieu de mener des parallèles à ses rayons polaires nous leur avons mené des perpendiculaires. Le résultat est donc le même que si, après avoir construit le dynamique comme à l'ordinaire et ainsi que nous l'avons indiqué (v. n° 25), et après avoir tracé d'après lui le funiculaire, nous avions fait tourner ce dynamique d'un angle de 90° autour de son pôle pour l'amener dans la position omn.

Dans le cas actuel nous avons agi ainsi à cause du manque de place et aussi parce que ce dynamique (II) nous servira pour le funiculaire (IV) dont nous parlerons plus loin. Pour celui-ci, il sera dans la position ordinaire.

Remarquons aussi, en passant, que d'après le conseil que nous avons donné aux nos 94 et 95, la distance polaire Od de ce dynamique a été prise égale à mn c'est-à-dire à la somme des forces fj2 /",..

Le funiculaire VV2 • • • • rr, qui est résulté de notre dynamique nous donne en I, à l'intersection du côté initial r0 et du côté final r17, un point de l'horizontale du centre de gravité cherché, ce point est donc en G.

(c) Grand axe de l'ellipse d'inertie. — Il s'agit maintenant de trouver le rayon de giration. Pour cela nous allons nous servir du funiculaire que nous venons de tracer, mais en le modifiant un peu pour tenir compte, comme nous l'avons fait au n° 9G, du théorème du centre de gravité (v. n° 70). Indiquons cette modification.

Si nous désignons par ytysy3 yn les distances de

chacun des points 1, 2, 3 , 17 au centre de gravité G

et par ptpa pn les rayons de giration de chacune des

tranches correspondantes, par rapport à la direction XX', nous devrons déplacer les points d'application des forces

fififa A7 de manière que leurs nouvelles distances au

point G soient v^î/ï H— pf » \A/t"+~Pï > e^c-

En opérant de cette façon, le nouveau point d'application de la force /",, vient en if, mais pour toutes les autres forces le nouveau point d'application tombe, graphiquement, sur l'ancien, car la petitesse des hauteurs des trapèzes élémentaires, autres que le trapèze du milieu, fait que les différences ne sont pas appréciables.

Les nouvelles lignes d'action des forces seront don< ! horizontales des points 1,'2, 3,. . . , 10 — 11' — 12,. . . , 17, et le funiculaire qui en résulte, en nous servant comme précédemment du dynamique omn, est le polygone IEF1' que nous avons couvert de hachures.

D'après l'observation faite au n° 95, puisque la distance polaire du dynamique est égale à la somme des forces, la surface du polygone hachuré est égale, numériquement, à la moitié du carré du rayon de giration.

Evaluons la surface de ce polygone par l'un des moyens indiqués au ch. IV. En remplaçant le polygone par un triangle équivalent, nous avons trouvé que la base de ce triangle est égale à HX (tig. 1) et sa hauteur à HX'. Le double de la surface du triangle équivalent est donc XII X HX'. Portons bout à bout sur l'horizontale XX' du centre de gravité G la longueur XH de la base du triangle équivalent et dans le prolongement celle HX' de sa hauteur ; puis, traçons sur XX', comme diamètre, une demi-circonférence ; élevons la verticale du point II ; l'intersection de cette verticale avec la circonférence donnera en 11K la longueur du rayon de giration, puisqu'on a

XH X HX' = ÎÏK\

Portons cette longueur sur la verticale AA' de chaque côté du centre de gravité G et nous aurons en L et L' les deux extrémités du grand axe de l'ellipse d'inertie.

(d) Petit axe de l'ellipse d'inertie. — Pour déterminer l'axe horizontal, ou petit axe, de la même ellipse, nous procéderons d'une manière analogue. Nous nous servirons encore de la division du profil en tranches horizontales ; mais, en raison de la symétrie du contour du rail, nous ne considérerons que la moitié des tranches élémentaires situées à gauche de la verticale. AA'.

Nous supposerons qu'en chacune de ces demi-tranches est appliquée une force verticale proportionnelle à sa surface. Le dynamique de ces forces est d'ailleurs tout tracé ; c'est celui qui nous a déjà servi en omn (fig. II) ; quant aux points d'application de ces forces, nous ne les placerons pas sur les centres de gravité élémentaires ; nous les supposerons à des distances x' de la verticale AD données par l'expression générale (v. n° précédent).

x' — \Jx* -+- p'2 , x étant l'abscisse du centre de gravité d'une demi-tranche

MOMENTS D'INERTIE DES AIRES PLANES

horizontale, et p' son rayon de giration relatif à une droite parallèle à AA' et qui passerait en son centre de gravité.

En assimilant à des rectangles ces tranches élémentaires, cela revient à prendre pour abscisse x' des points d'application des forces

a étant la largeur moyenne d'une tranche quelconque. Nous obtenons ainsi les points I", 2", 3", 17".

Sur les verticales de ces points, comme ligne d'action des forces f"f\. . . . f(i et à l'aide du dynamique omn (Gg. III) nous construirons le funiculaire PMND (ûg. IV) dont la surface nous fera connaître le rayon de giration du demiprofil de rail relatif à l'axe AA'.

Sur la fig. 76, nous avons couvert de hachures la surface de ce funiculaire, en mettant des hachures croisées sur les surfaces qu'il faut compter deux fois.

Le profll complet ABC a un moment d'inertie double de la valeur du moment d'inertie de sa moitié ABA' par rapport à l'axe AA'; mais, je dis, en outre, que les rayons de gira-

(1) Note 1. — Pour démontrer celte formule reportons-nous au n° 85. On y voit que pour un rectangle de largeur horizontale a on a comme distance x de son centre de gravité au coté vertical

taudis que le rayon central de giration correspondant est

Par conséquent on aura

= xî + pli= 5- + -=-.

tion de ces deux surfaces par rapport au même axe AA' sont égaux.

En effet, désignons par a la surface totale ABC, par I son moment central d'inertie et par R le rayon de giration correspondant, on aura

L'aire de la demi-surface ABA' sera — > son moment

d'inertie par rapport à AA' sera — et enfin son rayon de

giration correspondant R' aura pour expression

Il résulte de cette remarque que la surface du funiculaire MDDN est précisément égale à la moitié du carré du rayon de giration de la surface totale ABC.

Pour construire ce rayon de giration, remplaçons l'aire MPDN par un triangle de surface équivalente. Portons la base de ce triangle de G en V, sa hauteur de G en U, puis décrivons une circonférence sur UV comme diamètre, l'ordonnée GT de cette circonférence sera le rayon de giration cherché ; la corde ST sera le petit axe de l'ellipse d'inertie : connaissant les deux axes, on tracera facilement l'ellipse (2).

(2) Note 2. — Cette discussion montre que dans tous les cas analogues a celui-ci, c'est-à-dire lorsque l'on aura décomposé eu petits rectangles la partie de l'aire située d'un côté d'une droite passant par le centre de gravité, ou prendra pour points d'application des forces lictives proportionnelles aux surfaces de ces petits rectangles les points 1', 2", 3"... 17" situés, non pas à la moitié îles largeurs, mais aux 0,577... de ces largeurs. Le lieu géométrique de ces points donnerait une courbe qui serait une réduction, en largeur et dans le rapport constant 0,577, du contour de l'aire dont on cherche le moment d'inertie. La surface extérieure du funiculaire construit sur ces forces fictives, sera proportionnelle au carié du rayon de giration cherché.

FIN DE LA PREMIÈRE PARTIE (Statique graphique).