MN' MN MP
M ' Ai P ht'
et la première est la résultante des deux autres ; le triangle construit sur ces trois vitesses ayant ses côtés proportionnels à ceux du triangle .MN P.
Il eu sera de même encore a la limite lorsque \t tendant vers zéro, les vitesses moyennes deviendront les vitesses au point M.
Donc la vitesse absolue est la résultante de la vitesse relative et de la vilesse d'entraînement, ou encore la diagonale du parallélogramme construit sur ces deux vitesses, d'où le nom de parallélogramme des vitesses donné à cette proposition.
WWllI
COMPLÉMENTS DE MATHÉMATIQUES
(c) Composition de deux mouvements rectilignes et uniformes, le mobile partant du repos (fig. 83). — Le mouvement résultant est un mouvement uniforme; sa vitesse est la résultante des vitesses des mouvements composants. Soit AC la trajectoire relative ; Dr la vitesse relative ; AB la trajectoire d'entraînement et v* la vitesse d'entraînement.
Au bout d'un temps t le mobile est en C sur sa trajectoire relative, en B sur sa trajectoire d'entraînement, et par suite en I) sur sa trajectoire absolue. Appelons x et y les coordonnées du point I) rapporté à AB et AC prises respectivement comme axes des x et des y.
Nous aurons
x = AB = r, X t, y = AC = r, X t, d'où en éliminant t entre ces deux équations
ÏV
C'est l'équation d'une ligne droite passant par l'origine ; celle droite est la diagonale du parallélogramme construit sur AB et AC comme côtés.
I.e mouvement est uniforme car, pour deux positions D et D' correspondant aux temps t et t\ on aura
AD AB t IF — ITV ~~ f ' les espaces sont donc proportionnels aux temps.
Enfin si AB' représente Ve, AC étant Vr, la vitesse du mouvement composé sera AD' diagonale du parallélogramme construit sur les deux vitesses données.
[d) Comi>osition de deux mouvements rectilignes et uniformément accélères, le mobile partant du repos (fig. 83). — Le mouvement résultant est uniformément accéléré ; sa vilesse est la résultante des vitesses des mouvements composants ; son accélération est la résultante des accélérations des mouvements composants. En effet :
Soit AX la trajectoire du mouvement d'entraînement, dont l'accélération est j, et soit AY la trajectoire du mouvement relatif d'accélération j\
Au bout du temps t, le mobile est en B sur sa trajectoire d'entraînement, en C sur sa trajectoire relative, et en I) sur sa trajectoire absolue, et l'on a, en appelant x et y les coordonnées du point D,
x — -jt2, et y
Eliminant t entre ces deux équations, il vient
équation d'une droite passant par l'origine et qui est la diagonale du parallélogramme construit sur AB et AC comme côtés.
Cela prouve donc, en premier lieu, que le mouvement résultant est recliligne et que sa trajectoire est la ligne AD.
Pour une seconde position D' correspondant au temps V l'espace parcouru sera AD', et l'on aura
AD AU /- AU' — AB' ~~ t'2" Ce qui prouve, en second lieu, que le mouvement est uniformément accéléré, puisque les espaces parcourus sont proportionnels aux carrés des temps. L'équation du mouvement est de la forme, J étant l'accélération,
S = ijt2.
Pour t~i, les espaces parcourus sur chacune des trois trajectoires sont respectivement
J, accélération du mouvement composé,- esl par suite la résultante (ou la diagonale du parallélogramme) de l'accélération du mouvement relatif et de l'accélération du mouvement d'entraînement.
(e) Composition d'un mouvement rectibgne uniforme et d'un mouvement rectiligne uniformément accéléré, de vitesse initiale nulle (fig. 81)- — Le mouvement uniforme sera considéré comme mouvement relatif, de vitesse v et dirigé suivant OX ; le mouvement uniformément accéléré, d'accélération j, sera le mouvement d'entraîuement dirigé suivant OY.
Le mobile occupant au bout du temps t la position M, a décrit sur sa trajectoire relative
mm = y = -jt2, et sur sa trajectoire d'entraînement
Qm — x — vt, eu appelant x et y les coordonnées du point M. Eliminons t entre ces deux équations, il vient, pour équation de la trajectoire,
C'est une parabole tangente en 0 à l'axe des x et ayant l'axe des y pour diamètre conjugué de la direction OX.
Telle est la trajectoire du mouvement composé.
La vitesse de ce . mouvement, au point M, est la diagonale du parallélogramme construit sur les vitesses relative et d'entraînement. En ce point la vitesse relative est MB = j7 ; la vitesse d'entraîuemeut est MA = V.
Les triangles semblables M?nT et MBC donnent :
wT
BC MB
