Composition de forces quelconques. — Théorème
« Toutes les forces appliquées a un même corps solide peuvent toujours être « ramenées a une force unique appliquée en un point du corps, choisi arbi- « trairement, et à un couple unique » (fig. 97).
Transportons, en effet, toutes les forces en un point choisi A du corps ; pour chaque force telle que flt nous aurons au point A une force flt à laquelle nous devons adjoindre un couple ayant pour forces /'j et pour bras de levier la distance du point A a la force considérée.
Toutes les forces ainsi obtenues au point A sont concourantes et oui par suite une résultante unique. Tous les couples pourront être ramenés à un couple résultant unique. C. Q. F. D.
Remarque. — La résultante est constante, quel que soit le point A choisi, et on l'appelle résultante de translation.
116. Etude analytique de la composition des forces appliquées à un corps solide (1).
(a) Préliminaires- — Puisque toutes les forces appliquées à un corps solide [.cuvent se ramener a une force unique et à un couple, nous allons chercher l'expression algébrique de cette force et de ce couple.
Nous nous appuierons sur la théorie des projections (voir O, chap. Il, § 3) et sur le théorème relatif au couple résultant du transport de plusieurs forces en un point (voir lre partie, n° 34 1.
Nous donnerons eu outre les définitions suivantes :
1» Ou appelle moment d'une force par rapport à un point le moment du couple résultant du transport de la force en ce point.
2U On appelle moment d'une force par rapport à un axe le moment de la projection de la force sur un plan perpendiculaire à l'axe, par rapport au pied de l'axe sur ce plan.
(b) Expression algébrique de la résultante de translation et du couple résultant (fig. 98).
Considérons une force F appliquée en un point M* d'un solide; soient OX, OY, OZ, trois axes rectangulaires auxquels nous rapporterons tous les points du solide, le point 0 étant le point où nous transporterons toutes les forces appliquées au solide. Les coordonnées du point M sont x, y et z. Décomposons la force F suivant trois directions parallèles aux axes de coordonnées.
(I) L'étude de ce paragraphe n'est pas indispensable pour l'intelligence des matières de la 1" partie.
Nommons X, Y et Z ses trois composantes ; et désignons par oc, p et y les angles que fait respectivement la force F avec les trois axes, nous avons X — F cos a, Y = F cos Z = F cos y.
Nous pouvons au lieu de transporter la force F au point 0, transporter en ce point ses trois composantes X, Y et Z; elles donneront lieu à trois couples que nous allons successivement étudier.
La force X transportée au point 0 donne lieu à un couple dont le bras de levier est om ; je peux considérer ce couple comme composé de deux autres ayant même force que lui, et pour bras de levier m[i et ou; si j'applique eu etfet au point p. deux forces égales et de sens contraire, parallèles à X et égales a cette force, je ne change rien à l'équilibre du système, et j'ai constitué ainsi les deux couples en question.
Le premier couple, qui a pour bras de levier wja, a son axe dirigé suivant le sens positif de OY, et égal a \z; le deuxième, dont le bras de levier est op., a son axe dirigé suivant le sens négatif de OZ, et égal à Xy.
De même la force Y transportée au poiut 0 donne un couple dont le bras de levier est Om' , pouvant être décomposé en deux autres : le premier a pour bras de levier Op.' et son axe est dirigé suivant le sens positif de OZ et a pour valeur Yx; le deuxième a pour bras de levier \j.'m' ; son axe est dirigé suivant le sens négatif de OX, et égal à \z.
Enfin la force Z transportée de même au point 0 donne un couple dont le bras de levier est Om' et qui se décompose en deux autres ; le premier a pour bras de levier Op.'; son axe est dirigé suivant le sens négatif de oY et a pour valeur Ix. Le deuxième a pour bras de levier p-'m', et son axe, dirigé suivant le sens positif de OX, est égal à Zy.
Nous avons donc en résumé sur chacun des axes de coordonnées les axes de deux couples donnant :
Sur OX Zy — Yz,
Sur OY Xz — ix,
Sur OZ \x — \y,
et respectivement les trois forces X, Y et Z.
Si nous faisons la même opération pour toutes les forces telles que F appliquées au corps solide, nous aurons suivant les trois axes de coordonnées trois sommes de composantes que nous appellerons
IX = R*, £Y = Ry, £Z — R-,
et suivant ces mêmes axes, trois sommes d'axes de couples
Z(Zy - Yz) = S,, 2,X; - Zx) = S,,
S(Ya? — Xy) — S;..
On obtiendra la résultante de translation en composant Rx, Rj/ et R; par la règle du parallélipipède.
On obtiendra l'axe du couple résultant en composant, par la même règle, les trois axes de couples S^, Sy et S-.
Remarquons que le moment de la force F par rapport à l'axe OX est la
