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COMPLEMENTS DE MATHÉMATIQUES

quantité Zy — Yz ; eu effet, le moment de F par rapport à l'axe OX est le moment de la projection F' de F sur le plan YOZ par rapport au point 0. La projection F' est la résultante des deux forces Y et Z, et son moment par rapport au point 0 est égal à la somme des moments, par rapport a ce point, de ces deux forces, c'est-à-dire à Zy — Yz.

Nous dirons alors que si plusieurs forces sont appliquées 'a un corps solide, leur résultante de translation a pour composantes suivant trois axes rectangulaires les sommes algébriques des projections de toutes les forces sur ces trois axes ; l'axe du couple résultant s'oblieut en composant trois axes de couples dirigés suivant les trois axes de coordonnées et ayant respectivement pour valeurs les sommes 'algébriques des moments de toutes les forces par rapport à ces trois axes de coordonnées.

(c) Cas où le système des forces appliquées à un corps solide admet une résultante unique. — Dans ce cas, le couple résultant est nul, et par suile, on a :

2(Yz —

Zy) =

Zx) =

xy) =

(d) Cas où le système des forces appliquées à un corps solide se ramène à un couple unique. — La résultante de translation est alors nulle, et l'on a

SX = 0; S Y =0, SZ = 0.

(e) Cas où le système des forces appliquées à un corps solide est en éqxiilibre. — Le système des forces appliquées a un corps solide sera eu équilibre si la résultante de translation et le couple résultant sont en même temps nuls. On a donc les six équations :

SX = 0, S(Zy — Y*) — 0,

2Y = 0, S(X; lx) - o,

SZ = 0, 2(Yx — Xy) = Ù,

qu'on appelle les six équations d'équilibre.

Ce résultat s'exprime encore de la manière suivante : Un système de forces appliquées à un corps solide est en équilibre si les sommes algébriques des projections de ces forces sur trois axes fixes sont nulles, et si, en même temps, les sommes algébriques des moments de ces forces par rapport aux trois axes sont nulles.

Remarque. — Lorsque les forces sont situées dans un même plan, on les rapporte a deux axes de ce plan, et les six équations d'équilibre se réduisent à trois :

SX = 0, S Y - 0, S(Y* — Xy) = 0.

if) Cas des forces parallèles. — Prenons l'axe des Z parallèle à la direction commune des forces ; alors la composante de chaque force suivant l'axe OZ a pour valeur la force elle-même, tandis que les composantes suivant les deux autres axes sont toujours nulles.

Les six équations d'équilibre se ramènent alors a trois :

SF = 0, Z(FX*).= o, s(F Xy) = o.

Si on convient d'appeler moment d'une force par rapport d un plun qui lui est parallèle le produit de la force par sa distance au plan, on voit que F X35 est le moment de la force F par rapport au plan ZoY et F X .'/. soi moment par rapport au plan ZoX.

On peut dire alors que des forces parallèles forment un système en équilibre si leur somme algébrique est nulle, et si les sommes algébriques de leurs moments par rapport à deux plans qui leur sont parallèles, sont nulles.

Remarque. — Si les forces parallèles sont siluées dans un même plan, en le prenant pour plan des ZOX, les équations se réduisent à deux :

SF — 0, SFœ = 0.

§ 7. — Centres de gravité

117. Centres de plusieurs forces parallèles (fie. 99 et 100). — Considérons deux forces parallèles fi et f.2 appliquées en deux points A et B d'un corps solide ; leur résultante passe en un point C de la droite AB, tel que l'on ait

AH __fj CB h

Menons par les points A et B deux autres. droites parallèles et supposons appliquées en ces points, suivant ces droites, deux forces f\ et f\ respectivement égales aux deux premières ; leur résultante passera encore au point C, et elle aura la même valeur, que dans le premier cas.

Donc, si on incline deux forces paiallèles d'un même angle autour de leurs points d'application, leur résultante conserve la même valeur, et elle passe

Fig. <M Fi g. 100

toujours par un point fixe situé sur la ligne droite qui joint les points d'application des deux forces, et partageant cette ligne en deux segments inversément'proportionnels aux forces adjacentes. Ce point s'appelle le centre des deux forces parallèles.

Soient maintenant trois forces flf [.,, f3 appliquées aux points A, B, C (fig. 100).

La résultante B, des forces /i et /"2 passe au point D de la droite AB, tel que

AD DB ~ fi

La résultante F des trois forces données s'obtiendra en composant Ri cl ; elle passera au point E de la droite CE, et l'on aura :

CK R, El) ~ À

Inclinons les trois forces autour de leurs points d'application, de manière qu'elles restent parallèles entre elles ; d'après ce que nous avons dit tout à l'heure, R'i résultante des forces f\ et f\2 est égale à Fî t et passe au point D ; F' résultante de B'j et de fx est égale à F et passe au point E.

Le point E est donc fixe ; on le nomme le centre des trois forces parallèles données.

Ou étendrait le même raisonnement au cas d'un nombre quelconque de forces parallèles. Donc,

Théorème. — « D'une manière générale, Iorsju'on fait tourner des forces « parallèles autour de leurs points d'application respectifs, de manière qu'elles « restent parallèles, leur résultante ne change pas de grandeur, et elle passe « toujours par un point fixe qu'on appelle le centre des forces parallèles . »

Remarques. — '■ 1° Si les forces parallèles, sans changer de point d'application, changeaient de grandeur tout en restant proportionnelles entre elles ; si, par exemple, elles étaient amplifiées ou réduites dans un rapport constant, le centre de ces forces ne changerait pas ; leur résultante changerait seulement de grandeur et elle serait amplifiée ou réduite dans le même rapport.

2° Si les points d'applicalion des forces sont tous dans un même plan ou sur une même droite, le centre des forces parallèles sera dans ce plan ou sur cette droite.

118. Centre de gravité. — Nous avons vu que le poids P d'un corps